Déformations sur les variétés de Poisson et cohomologies appropriées

Deformations on poisson manifolds and relevant cohomologies

• Auteur / Autrice : Angela Gammella-Mathieu
• Direction : Didier Arnal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Metz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lie, Algèbres de

Poisson, Variétés de

Cohomologie

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse aux produits-star tangentiels sur les variétés de Poisson, i. E. Aux produits-star qui se restreignent sans ambiguïté aux feuilles symplectiques ou au moins aux feuilles symplectiques génériques. On étudie entre autres la cohomologie de Poisson tangentielle des variétés de Poisson régulières en vue de classifier les produits-star tangentiels sur de telles variétés. On donne par ailleurs une condition nécessaire et suffisante d'existence de produits-star tangentiels, différentiels ou non, sur le dual g* d'une algèbre de Lie g nilpotente. On donne aussi une preuve cohomologique de l'existence d'un produit-star tangentiel et différentiel sur toute variété de Poisson régulière, puis d'un produit-star tangentiel, différentiel et gradué sur l'ouvert Ω des orbites de dimension maximale dans le dual g* de g nilpotente. La seconde partie concerne la formalité de Kontsevich. On y introduit une cohomologie de type Chevalley naturellement associée au problème d'existence des formalités. Finalement, en s'inspirant de la construction de Fedosov et de Cattaneo-Felder-Tomassini, on montre comment les propriétés de la formalité locale de Kontsevich permettent de construire des produits-star tangentiels sur les variétés de Poisson feuilletées. Ce résultat généralise l'existence des produits-star tangentiels sur les variétés de Poisson régulières

In this thesis, we are interested in the tangential star products on Poisson manifolds, that is star products which restrict nicely to the symplectic leaves – or at least to the “generic” ones. We study in particular the tangential Poisson cohomology of regular Poisson manifolds, as a first step towards classifying the tangential star products on such manifolds. Next we give a necessary and sufficient condition under which there exist tangential star products, differential or not, on the dual g* of a nilpotent Lie algebra. We also give a cohomological existence proof of tangential differential star products on any regular Poisson manifold M, and then of tangential, differential and graded star products on the open set Ω of maximal dimensional coadjoint orbits in the dual g* of a nilpotent Lie algebra. The second part concerns the formality of Kontsevich. We introduce a cohomology of Chevalley's type, which is naturally associated to the existence problem of formalities. Finally, we use the Kontsevich's local formality properties to construct tangential star products on foliated Poisson manifolds following the construction of Fedosov and Cattaneo-Felder-Tomassini. This result generalizes the existence proof of tangential star products for regular Poisson manifolds