Étude des méthodes particulaires renormalisées : applications aux problèmes de dynamique rapide

A study of renormalized particle methods : application to high velocity dynamics

• Auteur / Autrice : Nathalie Lanson
• Direction : Jean-Paul Vila
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Toulouse, INSA

Mots clés

Mots clés contrôlés

Euler, Équations d'

Convergence (mathématiques)

Lois de conservation (mathématiques)

Résumé

Nous nous intéressons aux méthodes particulaires qui permettent d'approcher les solutions de systèmes d'équations aux dérivées partielles. L'analyse mathématique de ces méthodes particulaires de type SPH (Smooth Particle Hydrodynamics) montre que le rapport de la taille caractéristique du maillage h et du rayon d'interaction des particules e doit tendre vers zéro pour obtenir la convergence. En pratique, nous ne pouvons satisfaire cette condition mais on utilise des valeurs de ce rapport h/e pour lesquelles on a une bonne approximation des dérivées sur une répartition régulière de particules. Pour éliminer cet inconvénient majeur nous présentons une nouvelle méthode basée sur la renormalisation, outil introduit par G. R. Johnson et S. R. Beissel ainsi que R. W. Randles et L. D. Libertsky. Notre objectif est de proposer un nouveau concept qui a la propriété d'augmenter la consistance. On introduit une nouvelle classe d'approximation des dérivées : les dérivées renormalisées. La consistance de ces dérivées renormalisées est garantie par la seule condition h/e=O(1) et l'erreur d'approximation est controlée par e. L'application des dérivées particulaires renormalisées aux systèmes de lois de conservation permet de construire deux schémas, fort et faible, renormalisés. La convergence des schémas renormalisés pour les systèmes de Friedrichs, puis pour des lois de conservation non linéaires scalaires est démontrée et nous donnons des estimations d'erreur dépendant uniquement de h. De nombreuses applications numériques, en mécanique des fluides ou des milieux continus, permettent de mettre en évidence la consistance de cette nouvelle méthode et montrent la possibilité de diminuer le coût de calcul d'un code particulaire grâce à la renormalisation. Des problèmes de dynamique rapide ont fait l'objet d'une collaboration avec le Centre d'Etudes de Gramat