Détermination géométrique de chemins géodésiques sur des surfaces de subdivision

Geometric computation of geodesic paths on subdivision surfaces

• Auteur / Autrice : Valérie Pham-Trong
• Direction : Luc Biard, Nicolas Szafran
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de modélisation et calcul (Grenoble ; 1995-2007)
• Jury : Président / Présidente : Jean Della Dora
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Lacolle
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Alain Le Méhauté, Marc Neveu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie différentielle

Géodésiques (mathématiques)

Mots clés libres

Plus court chemin

Géodésique

Minimisation de longueur

Schéma de subdivision

Surface de subdivision

Surface polyédrique

Formule de commutation

Maillage

Myocarde

Shortest path

Geodesic path

Length minimization

Subdivision scheme

Subdivision surface

Polyhedral surface

Commutation formula

Mesh

Myocardium

Résumé

Un chemin géodésique entre deux points sur une surface de R³ est un plus court chemin local. Nous proposons deux méthodes de calcul de géodésiques qui ont l'originalité d'utiliser des outils de modélisation géométrique dans ce contexte de géométrie différentielle. La méthode de minimisation propose de travailler sur des surfaces paramétrées et d'étudier le problème en se plaçant dans l'espace des paramètres. Les courbes considérées y sont les courbes de Bézier et les courbes splines. Leurs points de contrôle constituent les variables par rapport auxquelles la longueur du chemin image sur la surface est minimisée. L'implémentation de cette méthode d'approximation et sa validation sont développées. La méthode de subdivision propose de travailler sur des surfaces de subdivision, limites d'une suite de réseaux générés par un schéma de subdivision. Une méthode itérative de calcul exact de chemin géodésique sur une surface polyédrique est développée. Celle-ci permet ainsi de calculer une suite de chemins géodésiques sur les surfaces polyédriques issues des réseaux de contrôle successifs. La convergence de cette suite de chemins géodésiques est traitée et de nombreux exemples sont présentés. Quelques applications sont enfin proposées : la génération de maillages surfaciques et la modélisation des fibres du myocarde pour l'imagerie médicale

Geodesic paths between two points on a surface of R³ are local shortest paths. We propose two methods to compute them ; these ones are innovative because they use Computer Aided Geometric Design tools in this context of differential geometry. The minimisation method considers parametric surfaces and studies the problem in the parameter domain. Bezier and spline curves represent there the approximation class. Their control points are the variables for the minimization of the length of the image path on the surface. The implementation of this approximation method and its validation are developed. The subdivision method considers subdivision surfaces, limits of a sequence of control nets generated by a subdivision scheme. An iterative and exact method to compute geodesic paths on polyhedral surfaces is developed. This leads to the computation of a sequence of geodesic paths on the polyhedral surfaces associated to the successiv control nets. The convergence of the path sequence is discussed and we present results illustrated by examples. Some applications are finally given : surface mesh computation and myocardium fibres modelling in a medical context