Une alternative aux méthodes de réécriture pour la résolution des systèmes algébriques

• Auteur / Autrice : Grégoire Lecerf
• Direction : Marc Giusti, Bruno Salvy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique
• Jury : Président / Présidente : Michel Demazure
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Giusti, Jean-Charles Faugère, Monique Lejeune-Jalabert, Bruno Salvy, Michael E. Stillman, Jean-Claude Yakoubsohn
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Michael E. Stillman, Jean-Claude Yakoubsohn

Mots clés

Mots clés libres

Sciences et techniques communes

Mathematiques

Calcul formel

Equation polynomiale

Systeme equation

Algorithme

Elimination

Résumé

Introduite par h. Hironaka au milieu des annees 1960, la notion de base standard d'un ideal dans un anneau de polynomes connait depuis les travaux de b. Buchberger un engouement particulier en mathematiques et informatique. La construction effective d'une telle base est desormais une fonctionnalite essentielle dans tous les logiciels de calcul formel. Les algorithmes sous-jacents sont sans cesse ameliores et permettent de traiter des problemes concrets inaccessibles aux methodes numeriques. Et pourtant la complexite de ces algorithmes est doublement exponentielle dans le pire des cas. Dans les annees 1990, m. Giusti et j. Heintz montrent que les problemes d'elimination peuvent etre ramenes dans une classe polynomiale en representant les polynomes eliminant par des calculs d'evaluation. Sur la base de leurs travaux, ma these aboutit a un algorithme probabiliste de calcul de la decomposition en composantes equidimensionnelles de l'ensemble des solutions d'un systeme d'equations et d'inequations polynomiales. Sa complexite est polynomiale en un degre intrinseque, de nature geometrique. Implante dans le systeme de calcul formel magma et appele kronecker en hommage a l'illustre mathematicien pour ses travaux sur l'elimination, notre paquetage affiche des performances qui sont a la hauteur des meilleurs implantations dans le langage c de calcul de bases standard.