Une alternative aux méthodes de réécriture pour la résolution des systèmes algébriques
par Grégoire Lecerf
Thèse de doctorat en Mathématiques et informatique
Sous la direction de Marc Giusti et de Bruno Salvy.
Soutenue en 2001
Le président du jury était Michel Demazure.
Le jury était composé de Marc Giusti, Jean-Charles Faugère, Monique Lejeune-Jalabert, Bruno Salvy, Michael E. Stillman, Jean-Claude Yakoubsohn.
Les rapporteurs étaient Michael E. Stillman, Jean-Claude Yakoubsohn.
- Sciences et techniques communes
- Mathematiques
- Calcul formel
- Equation polynomiale
- Systeme equation
- Algorithme
- Elimination
mots clés
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Résumé
Introduite par h. Hironaka au milieu des annees 1960, la notion de base standard d'un ideal dans un anneau de polynomes connait depuis les travaux de b. Buchberger un engouement particulier en mathematiques et informatique. La construction effective d'une telle base est desormais une fonctionnalite essentielle dans tous les logiciels de calcul formel. Les algorithmes sous-jacents sont sans cesse ameliores et permettent de traiter des problemes concrets inaccessibles aux methodes numeriques. Et pourtant la complexite de ces algorithmes est doublement exponentielle dans le pire des cas. Dans les annees 1990, m. Giusti et j. Heintz montrent que les problemes d'elimination peuvent etre ramenes dans une classe polynomiale en representant les polynomes eliminant par des calculs d'evaluation. Sur la base de leurs travaux, ma these aboutit a un algorithme probabiliste de calcul de la decomposition en composantes equidimensionnelles de l'ensemble des solutions d'un systeme d'equations et d'inequations polynomiales. Sa complexite est polynomiale en un degre intrinseque, de nature geometrique. Implante dans le systeme de calcul formel magma et appele kronecker en hommage a l'illustre mathematicien pour ses travaux sur l'elimination, notre paquetage affiche des performances qui sont a la hauteur des meilleurs implantations dans le langage c de calcul de bases standard.
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