Etude de surfaces lagrangiennes stationnaires dans l'espace euclidien de dimension quatre

• Auteur / Autrice : Henri Anciaux
• Direction : Frédéric Hélein
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Cachan, Ecole normale supérieure

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude de surfaces lagrangiennes de r 4 qui ont la propriété d'être stationnaires pour des variations hamiltoniennes ; elle utilise des travaux de f. Helein et p. Romon qui ont donne des formules de représentation de type Weierstrass pour les surfaces lagrangiennes. Dans un premier temps on présente les exemples déjà connus que sont les tores et les cones et on en étudie de nouveaux. En particulier, on décrit explicitement tous les cylindres stationnaires invariants par translation ainsi que des exemples de singularités qui généralisent celles de type conique dus a r. Schoen et j. Wolfson. On s'intéresse dans le chapitre suivant a un problème de minimisation d'aire pour des tores, connu sous le nom de conjecture de oh. Nous y donnons une réponse partielle en établissant une inégalité isoperimetrique pour les tores lagrangiens stationnaires. Un résultat tout-a-fait analogue est ensuite démontre pour les cylindres lagrangiens invariants par translation. Enfin, on considère la conjecture de willmore avec contrainte lagrangienne qui dans le contexte des tores lagrangiens se révèle étroitement liée au problème au problème précédent. En effet on montre que la conjecture de willmore est vraie pour les tores lagrangiens stationnaires et en on déduit une nouvelle démonstration du résultat principal du chapitre précédent.