Courbes associées aux modules de Koszul

Curves associated to Koszul modules

• Auteur / Autrice : Thomas Péteul
• Direction : Mireille Martin-Deschamps
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Versailles-St Quentin en Yvelines

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohen-Macaulay, Module de

Hilbert, Schémas de

Obstructions, Théorie des

Géométrie algébrique

Résumé

L'approche moderne de la classification des courbes gauches (courbes de p 3 localement Cohen Macaulay) en géométrie algébrique est l'étude du schéma de Hilbert h d , g qui paramètre les familles plates de courbes de p 3 de degré d et genre g. Une question fondamentale qui se pose est la lissite de ce schéma. La lissite de h d , g en une courbe c se traduit en termes de relèvements de déformations infinitésimales de c a des ordres supérieurs. Laudal donne un critère explicite pour relever une déformation infinitésimale de c d'ordre 1 en une déformation infinitésimale d'ordre 2, il en résulte une obstruction dans ext 2 o p 3 (i c, i c). Nous donnons une méthode pour calculer cette obstruction de façon effective en utilisant une suite spectrale définie par walter et dont nous donnons une description simple ainsi que des morphismes et suites exactes qui en découlent. Un invariant important des courbes gauches est leur module de rao, a savoir le kx, y, z, t-module gradue m c = + n , z h 1i c(n) qui est de longueur finie. Beaucoup d'exemples concernant le schéma de Hilbert utilisent des courbes dont le module de rao est de Koszul (appelées courbes de Koszul). Un module de Koszul est un k x, y, z, t-module gradue de longueur finie isomorphe au quotient de kx, y, z, t par une suite régulière constituée de 4 polynômes homogènes. Nous étudions cette façon systématique les modules de Koszul et décrivons toutes les courbes minimales associées à ces modules. Nous appliquons les méthodes d'obstruction développées précédement pour étudier la lissite du schéma de Hilbert en les points de h d , g correspondant aux courbes minimales de Koszul en particulier nous calculons des obstructions algébriques effectives et simples pour qu'une déformation sur spec k x/x 2 d'une courbe minimale de Koszul se relève sur spec k x/x 3. Nous en déduisons une description des schémas de Hilbert au voisinage de telles courbes.