Dynamique des fractions rationnelles sur des corps locaux

• Auteur / Autrice : JUAN RIVERA LETELIER
• Direction : Jean-Christophe Yoccoz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Chimie
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Soit p un nombre premier, q p le corps des nombres p-adiques et soit c p la plus petite extension complete et algebriquement close de q p. Ce travail est principalement consacre a l'etude de la dynamique des fonctions rationelles, a coefficients dans c p, sur la droite projective p(c p). A chaque fonction rationnelle r , c p(z) on associe son domaine de quasiperiodicite, que l'on note (r), qui est egal a l'interieur de l'ensemble des points sur p(c p) qui sont recurrents par r. On montre que cette ensemble est egal a l'ensemble des points dans p(c p) ayant une voisinage u et une suite n j j0 tel que n j quand j et tel que la restriction de r n j a u converges uniformement a l'identite quand j. On montre qu'un point dans (r) est soit periodique, soit tel que un itere de r est conjugue a une translation sur un voisinage du point. On montre que les composantes analytiques du domaine de quasiperiodicite sont des affiinoides ouverts ; c'est-a-dire qui sont a geometrie simple. Comme dans le cas complexe, on a une partition de la droite p(c p) dans l'ensemble de fatou et l'ensemble de julia. Par analogie au theoreme de classification des composantes connexes de l'ensemble de fatou, due a fatou et sullivan dans le cas complexe, on conjecture que tout point dans l'ensemble de fatou, d'une fonction rationnelle r , c p(z), est soit attire par un cycle attractif, soit il rencontre (r) par iteration positive. On montre que cette conjecture est equivalente a la conjecture de non errance suivante : tout disque errant est attire par un cycle attractif.