Recherche variationnelle d'orbites homoclines dans les systèmes dynamiques hamiltoniens

• Auteur / Autrice : Patrick Bernard
• Direction : Eric Séré
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris 9

Résumé

L'existence d'orbites homoclines dans un système dynamique a d'intéressantes conséquences sur le comportement de ce système, dont les premières ont été remarquées par Poincaré. Lorsque le système dynamique est hamiltonien, les méthodes variationnelles fournissent un outil puissant pour trouver des orbites homoclines. On considère dans la première partie de cette thèse une famille à un paramètre d'orbites périodiques hyperboliques contractiles d'un système hamiltonien autonome. On utilise des méthodes variationnelles pour montrer sous des hypothèses globales que les orbites de la famille admettant une orbite homocline sont denses dans la famille. On montre dans la seconde partie l'existence d'une orbite homocline à la variété centrale d'un point fixe de type selle-centre. On donne quelques applications physiques de ce résultat, en particulier, si un système mécanique défini par une liaison holonome à un point fixe instable et une orbite homocline à ce point fixe, l'orbite homocline est préservée quand la liaison est excitée. Dans la dernière partie, on montre l'existence d'orbites homoclines aux ensembles de peierls resultant de la destruction des tores résonants dans les systèmes intégrables perturbés de hamiltonien convexe.