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Thèse soutenue

Problèmes variationnels avec défaut de compacité en systèmes dynamiques et en physique mathématique

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Auteur / Autrice : Eric Paturel
Direction : Eric Séré
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 2000
Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Systèmes hamiltoniens
Dirac, Équation de
Mécanique relativiste
Théorie quantique

Résumé

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Les travaux présentés dans cette thèse portent sur l'application de certaines méthodes variationnelles à des fonctionnelles présentant un défaut de compacité, et s'organisent autour de deux thèmes : les orbites homoclines des systèmes hamiltoniens et, en physique mathématique, la résolution d'équations ou intervient l'opérateur de Dirac. Dans la première partie, on prouve l'existence d'au moins deux orbites homoclines pour une classe de systèmes hamiltoniens autonomes du second ordre, grâce à une nouvelle méthode variationnelle fondée sur la notion de catégorie relative : on résout des problèmes non autonomes approches, puis on étudie la limite des solutions lorsque la perturbation tend vers 0. Dans la seconde partie, on trouve une infinité de solutions à une équation de Dirac stationnaire non-linéaire, posée sur l'espace-temps de Schwarzschild. La fonctionnelle correspondante, fortement indéfinie, peut être réduite grâce à une propriété de concavité. Conformément à une conjecture de Bachelot-Motet, les solutions trouvées disparaissent lorsque le rayon de la boule massive tend vers le rayon horizon de la métrique. La troisième partie est une étude des équations de Dirac-Fock, analogues relativistes des équations de Hartree-Fock. On prouve dans ce cadre l'existence d'une infinité de solutions stationnaires sous des hypothèses plus larges que celles des travaux d'Esteban et Séré. Apres diverses réductions de la fonctionnelle fortement indéfinie, on développe un min-max s'inspirant des travaux de Conley-Zehnder et Floer.