Sur la dynamique arithmetique des automorphismes affines

• Auteur / Autrice : Sandra Marcello
• Direction : Marc Hindry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Le theme de cette these est l'etude arithmetique des transformations birationnelles et plus particulierement des automorphismes de l'espace affine de dimension n, il se situe donc au croisement de la geometrie algebrique et de la theorie des nombres. Soit f un automorphisme de l'espace affine de dimension n, les deux questions principales abordees sont les suivantes : 1. L'ensemble des points periodiques est-il de hauteur bornee (donc fini si on se restreint a un corps de nombres fixe) ? dans le cas general pour eviter les contre-exemples triviaux, il faut se restreindre aux points periodiques isoles 2. Soit p un point non periodique. Quel est le comportement asymptotique du nombre de points de l'orbite de p de hauteur donnee ? le cas ou l'automorphisme s'etend en un morphisme de l'espace projectif est essentiellement trivial, les difficultes viennent des singularites a l'infini. Cette these repond a ces deux questions pour les automorphismes reguliers. Un automorphisme polynomial affine f est dit regulier si son lieu de non definition est disjoint du lieu de non definition de son inverse. Ces automorphismes sont par ailleurs tres interessants du point de vue de la dynamique complexe. Cette these repond a la deuxieme question pour les automorphismes du plan affine (en utilisant la classification de ces automorphismes) et montre, sur des exemples, que la situation est bien plus compliquee en dimension superieure.