Algebres a operateurs de nombre de presentation quadratique

• Auteur / Autrice : FABIEN BESNARD
• Direction : Daniel Bennequin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Le probleme etudie a pour origine la quantification d'un systeme d'oscillateurs harmoniques. On cherche toutes les algebres a involution, sur un corps de caracteristique nulle, engendrees par une famille d'operateurs de creation a + i et d'operateurs de destruction a i, soumis a des relations quadratiques, contenant des operateurs de nombres n i, tels que n i, a j = i ja j et n i,a + j = i ja + j, et symetriques dans le sens ou la permutation des indices induit un automorphisme d'algebre. Dans le cas d'un seul, ou d'une infinite, de generateurs, nous donnons la liste complete de ces algebres. Dans le cas d'un nombre fini (plus grand que un) de generateurs, nous donnons la liste des algebres qui verifient en plus une hypothese de confluence permettant d'appliquer le lemme de bergman. La demonstration se fait en se reduisant a un nombre fini de cas, pour lesquels des calculs, dont certains automatises, conduisent a la solution. Nous generalisons ensuite en autorisant les operateurs de nombres a appartenir a une completion obtenue par limite projective. Nous retrouvons dans ce cadre les q-bosons bien connus en theorie des groupes quantiques. Dans le cas d'une infinite de generateurs nous donnons aussi la liste de toutes les algebres possibles. Enfin, nous montrons que les solutions obtenues peuvent toujours, sauf dans un cas qui ne se produit que pour un nombre fini de generateurs, etre obtenue en deformant une certaine generalisation de super-algebre de poisson.