Sur la transition de phase de 3-sat

• Auteur / Autrice : JACQUES MANDLER
• Direction : Philippe Chrétienne
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Terre, océan, espace
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Dans la premiere partie, nous explorons une nouvelle methode pour trouver les valeurs asymptotiques de sommes de nombres complexes du type s n = n k = 0f n (k). Posant f n(x) = f n (nx), nous avons constate empiriquement que souvent, dans des situations ou la methode du col s'applique a i (f n) = 1 0 f n (x) dx, la quantite ni (f n) constitue un equivalent asymptotique, voire exact de s n. Des exemples typiques sont des sommes alternees de nombres reels, et, contrairement a celles jusqu'ici connues, cette procedure semble d'application assez large. Des resultats partiels sont presentes en vue d'une justification theorique, dont l'un au moins semble prometteur. Parmi nos exemples, signalons un calcul par inclusion-exclusion redonnant la borne superieure de 4. 64 pour le seuil de 3-sat obtenue en 1995 par o dubois et y. Boufkhad. La seconde partie introduit un nouvelle idee dans l'etude du probleme k-sat aleatoire, celle de formule booleenne aleatoire typique ; cette notion est ensuite appliquee a la preuve d'une borne superieur de 4. 506 pour le seuil de 3-sat, la meilleure actuellement etablie de facon rigoureuse. Bien qu'on ne puisse donner un definition canonique, une formule aleatoire typique est essentiellement une formule susceptible de sortir effectivement d'un generateur logiciel. Les techniques mises en uvre dans notre preuve proviennent principalement de l'analyse reelle et des probabilites (grandes deviations). Bien qu'il s'agisse de techniques assez repandues, la preuve elle-meme est longue et complexe.