Thèse soutenue

Systemes desordonnes a connectivite finie, problemes d'optimisation et dynamique hors equilibre des systemes vitreux

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Auteur / Autrice : Giulio Biroli
Direction : Marc Mézard
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Physique
Date : Soutenance en 2000
Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

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Dans cette these je m'interesse a certains aspects des systemes desordonnes. D'abord, je introduis les systemes desordonnes a connectivite finie en insistant sur les nouveaux ingredients physiques et techniques qui les distinguent de leur correspondant completement connectes. Ensuite, je considere deux modeles en particulier. Le premier est un systeme de spins a connectivite finie, appele k-sat, dont l'analyse de la phase de basse temperature se traduit en un probleme d'optimisation qui est central en informatique theorique. Notre analyse variationnelle de k-sat predit une structure multifractale de l'espace des etats fondamentaux (solutions du probleme d'optimisation) et ameliore la comprehension qualitative et quantitative de ce probleme. Le deuxieme modele etudie est la diffusion sur un graphe aleatoire qui procure l'exemple le plus simple afin d'etudier le lien entre desordre geometrique et localisation. Nous avons montre, grace a une analyse numerique et analytique, que la localisation est due a des fluctuations de la connectivite locale et nous avons developpe et teste un schema d'approximation qui peut etre applique a des cas plus generaux. Dans le chapitre 5 je presente dans les details une analyse de la relation entre les etats purs et les structures inherentes. Ceci permet de comprendre comment certains concepts, comme celui d'etat tap, qui jouent un role essentiel dans l'analyse des modeles completement connectes, s'etendent en dimension finie ou a des systemes a connectivite finie ; ceci montre aussi que pour obtenir (en dimension finie) une theorie de la phase vitreuse basee sur l'analogie avec les verres de spins generalises il est necessaire d'introduire une definition temporelle d'etat. Ensuite, je presente une analyse du lien entre paysage d'energie libre et dynamique a temps longs pour le modele de hopfield avec un nombre de patterns fini et pour le modele a p-spins spheriques. Pour le premier systeme, en considerant une dynamique de glauber, nous montrons que les inverses des temps de relaxation les plus longs coincident avec les modules des valeurs propres de l'energie libre autour de ses points de stationnarite ; tandis que pour le deuxieme modele, je generalise l'approche de thouless, anderson et palmer (tap) a la dynamique ; ce qui permet de montrer explicitement la relation entre les etats tap et les lois de probabilite dynamiquement stables, et que le vieillissement peut etre interprete comme une evolution dans les directions plates de l'energie libre. Enfin, a travers des exemples simples et des resultats mathematiques recents nous proposons une definition temporelle d'etat et un formalisme dynamique afin de generaliser en dimension finie la description de la phase vitreuse, obtenue par l'analyse des verres de spins generalises. De plus, l'application de ce formalisme au modele a p-spins spheriques, a permis de devoiler les caracteristiques de la solution dynamique intervenant dans le calcul des proprietes des etats metastables, qui est d'un type nouveau par rapport aux solutions trouvees jusqu'a maintenant.