Equations de transport modelisant des particules en interaction dans un fluide et comportements asymptotiques

• Auteur / Autrice : PIERRE-EMMANUEL JABIN
• Direction : Benoît Perthame
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Cette these consiste a etudier des modeles, principalement cinetiques, pour decrire les interactions de particules qui se deplacent dans un fluide. Ces interactions se font par le biais du fluide : une particule, en bougeant, deplace le fluide qui agit alors sur toutes les autres particules. Les particules sont supposees rigides et spheriques et le fluide est decrit par un ecoulement de stokes. La premiere etape consiste a modeliser et simplifier les interactions pour arriver a oublier le fluide et a exprimer directement les forces qui s'exercent sur les particules en fonction de leurs position et vitesse uniquement. Cela permet d'obtenir une equation pour la fonction de distribution. La principale difficulte, pour obtenir des derivations rigoureuses, est de controler la distance minimale entre les particules. En collaboration avec f. Otto, ce probleme a pu etre resolu pour des particules sans inertie mais reste ouvert pour la principale equation derivee. Il est ensuite possible d'etudier cette equation et diverses asymptotiques. A cause des effets dissipatifs dus au fluide, le comportement en temps grand sans forces exterieures fait ainsi apparaitre une concentration en vitesse de la solution autour d'une masse de dirac. Pour la meme raison, la fonction de distribution devient aussi monocinetique lorsque l'inertie des particules tend vers zero en presence d'un champ de pesanteur. On peut s'interesser a la regularite des solutions de l'equation par une methode de propagation de moments en vitesse. Cette methode permet d'ailleurs d'ameliorer le resultat habituel pour le systeme de vlasov-poisson. Enfin se pose la question de l'existence de solutions a l'equation lorsque la densite macroscopique ne tend pas vers zero a l'infini. L'approche proposee fonctionne dans le cas du systeme de vlasov-poisson mais semble difficile a generaliser a l'equation cinetique etudiee ici.