Principes de grandes deviations pour des equations aux derivees partielles stochastiques et applications

• Auteur / Autrice : Fabien Chenal
• Direction : Annie Millet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Ce travail comporte deux etudes independantes qui suivent cependant la meme demarche et utilisent de facon systematique un lemme de garsia. Nous demontrons des principes de grandes deviations (pgd) dans des espaces de fonctions holderiennes pour des solutions d'equations aux derivees partielles stochastiques (edps). La premiere partie porte sur une edps parabolique en dimension un perturbee par un petit bruit blanc espace-temps. Le pgd est etabli uniformement sur les compacts pour la condition initiale, sans hypothese de bornitude ou de non-degerescence sur les coefficients. Nous en deduisons une estimation exponentielle du temps de sortie d'un domaine pour la solution ; la non compacite des boules fermees pour la norme holderienne necessite de travailler avec deux indices de regularite pour utiliser la technique classique de freidlin-wentzell. Nous prouvons aussi une version de la loi fonctionnelle du logarithme itere pour une famille d'edps paraboliques ; l'absence de scaling due a la presence de la fonction de green empeche de reduire la preuve a la comparaison d'un processus a divers instants. Dans la deuxieme partie nous etudions une equation d'ondes stochastique en dimension deux perturbee par un bruit gaussien blanc en temps mais correle en espace. Sous une condition d'integralite sur la fonction decrivant la correlation spatiale, nous montrons un pgd en norme holderienne. Nous utilisons ensuite ce pgd pour montrer une estimation de type varadhan sur le comportement asymptotique de la densite de la solution en presence d'une petite perturbation.