Elements de geometrie algebrique approchee : etude du pgcd et de la factorisation

• Auteur / Autrice : DAVID RUPPRECHT
• Direction : André Galligo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Nice

Résumé

Cette these presente quelques resultats novateurs de geometrie algebrique approchee, branche recente de la geometrie algebrique effective. Les algorithmes habituels dans ce domaine reposent sur l'utilisation de nombres exacts et sont mis a defaut lorsque nous devons utiliser des approximations numeriques. Nous proposons ici non seulement de nouveaux algorithmes prenant en compte le fait que nous ne disposons que de donnees approchees, mais surtout nous donnons des theoremes permettant de certifier les resultats obtenus, ainsi que des implementations efficaces et utilisables de ces algorithmes. L'etude se decompose en deux grandes parties. Tout d'abord, nous etudions le calcul du pgcd approche de deux ou plusieurs polynomes d'une variable. Nous proposons, analysons et comparons plusieurs algorithmes permettant ce calcul et donnons plusieurs criteres certifiant les resultats, ce qui constitue l'un des points fondamentaux de ce travail. Cette etude est realisee aussi bien dans un cadre reel que dans un cadre p-adique. Nous appliquons ensuite ces resultats a l'etude des decompositions sans facteur carre d'un polynome a coefficients reels. Nous abordons, ensuite, l'etude de la factorisation de polynomes. Dans un premier temps, nous detaillons un nouvel algorithme, tres rapide, de factorisation absolue d'un polynome a deux variables a coefficients rationnels. Ce nouvel algorithme est base en grande partie sur des calculs approches, avant de retourner finalement une reponse exacte. Il sert ensuite de base a un algorithme calculant une factorisation approchee d'un polynome a deux variables a coefficients reels.