Sur l'holonomie des variétés pseudo-riemanniennes

• Auteur / Autrice : Charles Boubel
• Direction : Lionel Bérard-Bergery
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Riemann, Variétés de

Groupes d'holonomie

Mots clés libres

Variété mathématique

Système dynamique

Variété Riemann

Variété Lorentz

Algebre matricielle

Holonomie

Tenseur Ricci

Courbure

Résumé

Ce travail est constitué de trois chapitres largement autonomes, tous liés, mais à titres divers, à l'étude des variétés pseudo-riemanniennes dont l'holonomie restreinte stabilise des sous-espaces totalement isotropes. Le premier chapitre dégage une classification locale des variétés pseudo-riemanniennes dont la courbure de Ricci est parallèle. Il fournit en outre un résultat de type semblable concernant les variétés symplectiques munies d'une connexion compatible. Le deuxième chapitre étudie la question d'algèbre linéaire suivante : si K est un corps de caractérisique différente de 2, si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, si a et b sont sur E deux formes bilinéaires, chacune symétrique ou antisymétrique (a étant non dégénérée), comment agit sur E le sous-groupe de GL(E) qui stabilise a et b? Quels sont, à conjugaison près par GL(E), les types possibles de paires de formes {a,b}? Ce chapitre reprend autrement et généralise un travail de W. Klingenberg paru en 1954. Une table récapitule les formes matricielles respectives de a et b dans ces différents types possibles. Le troisième chapitre construit, sur une certaine classe de variétés pseudo riemanniennes réductibles, indécomposables sous l'action de leur holonomie restreinte, des coordonnées privilégiées, «canoniques» en un sens qu'il précise. Ces coordonnées sont un outil pour une première compréhension de la géométrie locale, très complexe, de ces variétés. Elles permettent en particulier de classifier localement, sur la base d'un précédent théorème algébrique d'A. Ikemakhen et L. Bérard Bergery, les variétés lorentziennes réductibles indécomposables.

This work consists in three amply autonomous chapters. On different accounts, all three are linked to the pseudo-Riemannian manifolds whose restricted holonomy group preserves some totally isotropic subspaces. The first chapter provides a local classification of the pseudo-Riemannian manifolds whose Ricci curvature is parallel. Moreover, it proposes a similar result about the symplectic manifolds endowed with a compatible connection. The second chapter deals with the following problem in linear algebra : let K be a field of characteristic different from 2, let E be a K-vectorspace of finite dimension and let a, b be two bilinear forms on E, each symmetric or skew-symmetric (with a nondegenerate). How the subgroup of GL(E) that preserves a and b acts on E? What are the possible types of pairs of forms {a,b}, up to conjugacy by GL( E)? This chapter pursues on another way and generalizes a work of W. Klingenberg, published in 1954. A table sums up the respective matrices of a and b in these different possible types. The third chapter builds some priviledged coordinates on a certain class of pseudo-Riemannian manifolds, reducible and indecomposable under the action of their restricted holonomy group. These are canonical coordinates, in a sense that is specified. These coordinates are a tool for a first understanding of the very complex local geometry of these manifolds. In particular, they allow to classify locally the reducible-indecomposable Lorentzian manifolds, using a previous result of A. Ikemakhen and L. Bérard Bergery.