Sur quelques problèmes de filtrage non linéaire

• Auteur / Autrice : Marie-Noëlle Dietsch
• Direction : Patrick Florchinger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Metz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hilbert, Espaces de

Équations différentielles stochastiques

Filtres (mathématiques)

Mots clés libres

Filtrage non linéaire

Analyse stochastique

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes de filtrage non linéaire à valeurs dans des espaces de dimension finie ou de dimension infinie. Le problème de filtrage consiste à estimer au mieux les trajectoires d'un signal aléatoire connaissant une observation partielle et entachée d'erreur sur celui-ci. Nous étudions tout d'abord un problème de filtrage ayant un signal de dimension deux et une observation unidimensionnelle dans le cas d'un grand rapport signal/bruit lorsqu'une seule composante du signal est observée, les bruits du signal et de l'observation étant dépendants. Nous montrons que pour ce problème il existe un filtre approché satisfaisant une équation aux dérivées partielles stochastique de dimension réduite par rapport à l'équation vérifiée par le filtre associé au problème de filtrage. Puis nous nous intéressons à un problème de filtrage non linéaire avec bruits dépendants lorsque le signal et l'observation sont à valeurs dans des espaces de Hilbert de dimension infinie. Nous montrons tout d'abord que le filtre et le filtre non normalisé associés à ce problème sont solution d'équations aux dérivées partielles stochastiques, les équations de Zakai et de Kushner-Stratonovitch respectivement. Puis nous prouvons que le filtre non normalisé est absolument continu par rapport à une mesure de référence définie sur l'espace des états du signal et nous montrons que la densité du filtre est solution d'une équation aux dérivées partielles stochastique parabolique déduite de l'équation de Zakai par dualité. Finalement, dans le cas où les bruits du problème de filtrage sont indépendants, nous montrons que le filtre est continu sur l'espace des mesures positives définies sur l'espace des états du signal, muni de la convergence étroite