Sur les équations différentielles linéaires paramétrées, une application aux systèmes hamiltoniens

• Auteur / Autrice : Delphine Boucher
• Direction : Jacques-Arthur Weil
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Calcul formel
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Limoges
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes hamiltoniens

Équations différentielles linéaires

Résumé

Notre etude porte sur les equations differentielles lineaires a coefficients polynomiaux parametres : l m(y(x)) = a n(m,x)y ( n )(x) + + a 1(m,x)y(x) + a 0(m,x)y(x) = 0. Nous nous interessons a certaines classes de solutions qui ont deja fait l'objet d'etudes dans le cas non parametre. Tout d'abord nous etudions l'ensemble v des valeurs des parametres m pour lesquelles l'equation l m(y) = 0 a des solutions polynomiales. Il n'est pas possible de decider si cet ensemble est vide ou non et nous proposons de construire deux types de sous-ensembles de l'ensemble v. Le premier est l'ensemble des conditions (algebriques) sur les parametres pour lesquelles l'equation l m(y) = 0 a une solution polynomiale de degre fixe numeriquement. Le deuxieme est un ensemble fini de conditions algebriques et arithmetiques sur les parametres ; le degre de la solution polynomiale correspondant a ce sous-ensemble de v depend des parametres. Nous proposons aussi un calcul des exposants generalises en un point en nous inspirant de raisonnements issus de l'evaluation dynamique. Nous prouvons alors que la factorisation des operateurs differentiels lineaires a coefficients polynomiaux parametres se reduit (comme dans le cas non parametre) a l'etude des solutions polynomiales et des exposants generalises. Nous nous interessons enfin aux solutions formelles. Nous obtenons ainsi une boite a outils implantee en maple. Son utilisation trouve une application dans l'etude des systemes hamiltoniens. Nous deduisons en effet du theoreme de morales-ramis un critere de non-integrabilite des systemes hamiltoniens puis nous utilisons notre boite a outils pour appliquer ce critere et prouver la non-integrabilite du probleme plan des trois corps.