Recherche Avancée

Thèse soutenue

Sur un problème inverse en diffraction d'ondes : identification des permittivités complexes d'un matériau à partir de données en champ proche

FR  |  
EN
Auteur / Autrice : Lionel Ségui
Direction : Jean-Pierre Raymond
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 2000
Etablissement(s) : École nationale supérieure de l'aéronautique et de l'espace (Toulouse ; 1972-2007)

Résumé

FR

La présence de fortes hétérogénéités à l'intérieur d'un obstacle diélectrique ne permet pas la détermination de son indice de réfraction par des méthodes optiques. C'est pourquoi il est nécessaire de se placer dans le domaine de la diffraction. L'indice de réfraction est alors lié à des mesures du champ diffracté par l'équation de Helmholtz. Du point de vue mathématique, ce problème inverse est à la fois non-linéaire et mal posé, que les données soient de type champ proche ou champ lointain. L'objet de cette thèse est de proposer une méthode de résolution approchée pour ce problème inverse, à partir de données du champ proche sur une surface entourant l'obstacle. Contrairement aux problèmes de contrôle dont le but est de minimiser un critère sans pour autant se soucier de l'unicité du minimum, on se préoccupe ici de l'identification de ce minimum, et l'unicité de la solution est de ce fait essentielle. L'indice est ainsi identifiable de manière unique dans L∞(R³ ; C) à partir de la mesure du champ proche pour toute direction incidente de S². Développée dans un premier temps pour le cas de la dimension deux, la méthode doit rester applicable à la dimension trois sans que les temps de calcul ne deviennent pour autant prohibitifs. C'est pourquoi on choisit d'évaluer les sensibilités des mesures à des variations élémentaires de l'indice par une méthode d'approximation de l'EDP plutôt que par la méthode intégrale volumique (équation de Lippmann-Schwinger) habituellement utilisées dans ce type de problème. La méthode choisie inverse des matrices creuses en lieu et place des matrices pleines de la méthode intégrale. L'approximation des conditions aux limites est effectuée de manière très précise grâce à l'introduction, autour du domaine de calcul, d'un milieu fictif absorbant PML de Bérenger. L'algorithme d'inversion choisi est celui de Gauss-Newton, pour lequel on recherche une forme de stabilité en testant successivement deux régularisations de Tychonov (en norme L² et en semi-norme H¹), puis une pénalisation par une régularisée de la semi-norme BV. Cette dernière s'avère, au vu des différents cas tests étudiés, la mieux adaptée pour résoudre ce problème.