Symétries de systèmes lagrangiens

• Auteur / Autrice : Ezequiel Maderna
• Direction : Albert Fathi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure (sciences)

Mots clés

Mots clés libres

Système dynamique

Système lagrangien

Equation Hamilton Jacobi

Groupe Symétrie

Symétrie

Résumé

On montre l'existence de solutions globales de viscosite pour l'equation d'hamilton-jacobi h(x, du) = c associee a un hamiltonien h convexe et superlineaire defini sur le fibre cotangent d'une variete differentiable m. Ces solutions globales sont liees a l'etude de la dynamique des courbes extremales globalement minimisantes et omega-minimisantes au sens de bangert. Parmi les systemes dynamiques consideres se trouvent les flots geodesiques des varietes riemanniennes ainsi que ceux qui proviennent de la mecanique classique entre autres. Quand le systeme presente des symetries, on montre l'existence de solutions invariantes pour des valeurs de la constante c superieures ou egales a une certaine valeur c = cinv(h). Si m est compacte, alors cinv(h) = c(h) est la valeur critique du hamiltonien, et toute solution globale est invariante par la composante neutre du groupe de symetries ; ce resultat est obtenu par l'application de la theorie de mather des mesures minimisantes, notamment du theoreme du graphe, et de la caracterisation donnee par fathi des solutions globales de viscosite. On deduit alors le corollaire suivant : toute section lagrangienne du fibre cotangent invariante par le flot hamiltonien de la fonction h est invariante par la composante neutre du groupe de symetries de h. Des exemples naturels de systemes avec groupes de symetries discrets sont donnes par les revetements. Dans ce cas, le groupe de symetries du hamiltonien releve h est le groupe d'automorphismes du revetement, et on a cinv(h) = c(h). Les revetements universel et abelien sont particulierement etudies ; si cu(h) et ca(h) sont leurs valeurs critiques respectives, et m est une variete compacte dont le groupe fondamental pi-1(m) est moyennable, on prouve que ces deux valeurs sont egales a la borne inferieure de la fonction alpha de mather.