Propriétés statistiques de systèmes dynamiques non Markoviens

• Auteur / Autrice : Frédéric Paccaut
• Direction : Bernard Schmitt
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Dijon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes stochastiques

Systèmes dynamiques

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude de certaines propriétés statistiques de systèmes dynamiques inversibles par morceaux non markoviens. La principale difficulté pour des systèmes non markoviens est que l'opérateur de transfert ne préserve pas l'espace des fonctions continues. Dans la première partie, l'étude du dual de l'opérateur de transfert mené a l'existence d'une mesure conforme pour des potentiels généraux. La principale hypothèse faite sur le système est que la pression topologique du bord de la partition de continuité est strictement inferieure à la pression totale (ceci indique que les discontinuités ne s'accumulent pas partout). La deuxième partie est consacrée à l'étude de l'opérateur de transfert lui-même, agissant sur un espace de fonctions à variations bornées. L'étude spectrale de cet opérateur, en ajoutant une hypothèse sur l'écart au markovien du système, permet de montrer l'existence d'une mesure invariante par la transformation, absolument continue par rapport à la mesure conforme et la décroissance exponentielle des corrélations. Dans la dernière partie, c'est le caractère -mélangeant du système qui est essentiel pour montrer que la statistique des temps d'entrée dans un cylindre tend vers une loi exponentielle. En montrant que les mesures invariantes obtenues ne sont pas très éloignées de mesures de Gibbs, on déduit que les fluctuations des temps de retour dans un cylindre autour de l'entropie sont lognormales.