Grandes deviations de systemes dynamiques

• Auteur / Autrice : Arnaud Guillin
• Direction : Pierre Bernard, Liming Wu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Clermont-Ferrand 2

Résumé

Cette these est consacree a l'etude des grandes deviations pour certains systemes dynamiques aleatoires. Dans un premier temps, nous nous interessons aux deviations grandes et moderees pour differents estimateurs de la variation quadratique d'une diffusion, et ce dans le cas parametrique (a temps fixe) ou bien dans le cas non parametrique (trajectoriel), estimations particulierement utiles en mathematiques financieres. Dans la deuxieme partie, nous etudions les grandes deviations pour des processus dependant d'une infinite de variables aleatoires independantes et identiquement distribuees, presents en theorie du filtrage, traitement du signal et autres systemes dynamiques. Le cas lineaire des processus a moyenne mobile est tout d'abord etudie sous des conditions naturelles en terme de series chronologiques. Les grandes deviations dans le cas non lineaire sont ensuite obtenues. La derniere partie concerne enfin les deviations moderees de processus de markov. Le cas discret est tout d'abord etudie : nous etendons, dans un premier temps, les resultats de m. Ledoux au cas markov puis etablissons le principe de deviations moderees trajectoriel uniforme sur une classe de fonctions sous la condition naturelle d'ergodicite geometrique, generalisant ainsi les resultats de a. De acosta et x. Chen, et ceux de a. Dembo et t. Zajic. Le cas continu est ensuite etudie. Nous obtenons ainsi les deviations moderees de fonctionnelles inhomogenes de processus de markov exponentiellement ergodique. On applique ensuite ce resultat au principe de moyennisation (mecanique stochastique, modeles climatologiques ), generalisant ainsi les travaux de m. I. Freidlin et w. D. Wentzell. Le cas avec petite diffusion est egalement etudie fournissant ainsi