Méthodes de Galerkine discontinu d'ordre élevé pour la simulation instationnaire en maillage non structuré

High-order discontinuous Galerkin methods for the simulation of instationary flows on unstructured meshes

• Auteur / Autrice : Anne Burbeau
• Direction : Charles-Henri Bruneau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Bordeaux 1

Résumé

Ce travail traite du développement de méthodes d'ordre de précision élevé pour la simulation instationnaire de fluide compressible en maillage non structuré. À cet égard, les méthodes de Galerkine discontinues sont très attractives. Elles tirent les bénéfices à la fois des méthodes de type éléments finis et volumes finis. La première partie est consacrée à la résolution numérique de lois de conservation hyperboliques. Étant donné que les solutions peuvent développer des discontinuités en temps fini, la difficulté majeure consiste à obtenir des propriétés de stabilité non-linéaire pour contrôler les oscillations qui apparaissent au voisinage des discontinuités. Un nouveau limiteur est proposé, pour les problèmes monodimensionnels et des maillages bidimensionnels d'éléments triangulaires. Couplé à un schéma de Galerkine discontinu, on obtient une méthode indépendante du problème résolu. Des simulations numériques montrent que le taux de convergence est maintenu pour des solutions régulières et une norme L¹ de l'erreur, et que la méthode est stable quel que soit l'ordre de l'approximation. Dans la deuxième partie, la résolution de problèmes de convection-diffusion est traitée. Deux formulations pour la discrétisation des termes de diffusion sont comparées. Une méthode non basée sur l'introduction de variable auxiliaire est retenue, et testée pour la simulation d'écoulements subsonique et supersonique de fluide compressible autour d'un cylindre à section circulaire. La stabilité du limiteur est également étudiée. Une stratégie d'adaptation du degré du polynôme d'approximation est proposée dans la troisième partie. Un critère est construit pour coupler deux niveaux d'approximation. Des simulations numériques montrent que le temps de calcul peut être réduit de façon significative.

This work deals with the development of high-order accurate methods for the numerical simulation of compressible flows on unstructured meshes. In the field, the discontinuous Galerkin methods are very attractive. They take benefits both from the finite element and the finite volume methods. The first part is devoted to the numerical resolution of nonlinear hyperbolic conservation laws. Since solutions can exhibit discontinuities in finite time, the main difficulty is concerned with the obtention of nonlinear stability properties to control spurious oscillations which appear near discontinuities. A new limiter is proposed, for one dimensional problems and bidimensional unstructured triangular meshes. When coupled with the discontinuous Galerkin schemen, it gives rise to a problem independent method. Numerical simulations show that the convergence rate is maintained for smooth solutions and errors measured in a L¹-norm, and that the method is stable whatever the order of the approximation is. In the second part, the resolution of convection-diffusion problems is treated. Two formulations are compared for the discretization of the diffusive terms. A method which is not based on auxiliary variable is retained, and tested for the simulation of subsonic and supersonic flows around a circular cylinder. The stability of the limiting procedure is also studied. An adaptive strategie for the polynomial approximation degree is proposed in the third part. A criterion is constructed to couple two levels of approximation. Numerical simulations point out that the computing time can be significantly reduced.