Arithmétique des extensions faiblement ramifiées

Arithmetic of weakly ramified extensions

• Auteur / Autrice : Stéphane Vinatier
• Direction : Philippe Cassou-Noguès
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Bordeaux 1

Résumé

Après les nombreux travaux effectués pour étudier la structure galoisienne de l’anneau d’entiers d’une extension modérée de corps de nombres, notamment par Fröhlich et Taylor, Erez s’est intéressé à celle de la racine carrée de la codifférente (le seul idéal autodual pour la forme trace). Il a montré que le cadre naturel pour cette étude est celui des extensions de degré impair faiblement ramifiées, c’est-à-dire pour lesquelles le second groupe de ramification est trivial en toute place. La présence de la ramification sauvage en certaines places pose de nouveaux problèmes, que l’on résout dans cette thèse dans le cas où l’extension est absolue et abélienne aux places sauvages, grâce à une étude exhaustive des extensions locales, absolues, abéliennes et faiblement ramifiées. On s’intéresse aussi au cas non abélien aux places sauvages. Par ailleurs, on construit des exemples d’extensions absolues faiblement ramifiées de degré impair non abéliennes. Le calcul dans ces exemples du réseau unimodulaire obtenu en munissant la racine carrée de la codifférente de la forme trace permet de montrer qu’il n’est pas toujours isométrique au réseau unimodulaire standard.

After numerous works dealing with the Galois structure of the ring of integers in tamely ramified extensions of number fields, achieved in particular by Fröhlich and Taylor, Erez started studying the Galois structure of the square root of the inverse different, which is the only self-dual ideal with respect to the trace form. In view of his results, it is natural for this study to suppose the extensions of odd degree and weakly ramified, i. E. The second ramification groups at all places are trivial. Having to deal with wildy ramified places brings new problems, which are solved in this thesis when the extension is also supposed absolute and abelian at wild places. This is made possible thanks to the complete description of local, absolute, abelian and weakly ramified extensions. Extensions which are not abelian at wild places are also considered. In addition, examples of weakly ramified extensions of odd degree which are not abelian are constructed. The calculation of the unimodular lattice obtained by equipping the square root of the inverse different of these extensions with the trace form shows that it's not always isometric to the standard unimodular lattice.