Caractérisation polynomiale des processus séquentiels

• Auteur / Autrice : Frédéric Guegnard
• Direction : Marc Bourcerie
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique et informatique appliquée
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Angers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problème du voyageur de commerce

Algorithmes génétiques

Interpolation (mathématiques)

Modèles mathématiques

Résumé

La modélisation de processus séquentiels intervient dans de nombreux domaines importants comme la recherche opérationnelle, l'ingénierie industrielle ou encore l'informatique. Cette thèse propose une nouvelle modélisation des processus séquentiels : à toute séquence complexe ou non, on associe un polynôme a une ou plusieurs variables a coefficients et a valeurs dans un corps fini. Ce modèle mathématique se situe dans le cadre du problème classique d'interpolation polynomiale seulement dans le cas particulier de l'ensemble z/pz. La conséquence de cette démarche est la possibilité d'utiliser à la fois les propriétés de l'ensemble z/pz (petit théorème de fermat, ) et les propriétés de calculs sur les polynômes. Apres un rappel sur l'ensemble z/pz, on redéfinit toutes les procédures permettant d'effectuer des opérations sur ces polynômes dans cet ensemble : addition, multiplication, division euclidienne, composition et surtout l'évaluation. Dans le cas de processus séquentiels simples (sans répétition de taches), nous avons explicite les propriétés de notre modèle avant de définir une base de polynômes qui nous permet de construire dynamiquement le polynôme. Nous pouvons alors perturber notre processus initial et mettre en place des procédures permettant de gérer ces perturbations au niveau du polynôme sans avoir à le recalculer entièrement. Nous détenons maintenant les mêmes outils que pour une structure de données classique, nous pouvons alors l'utiliser pour la modélisation de problèmes classiques de séquencement. Nous nous sommes intéressés aux algorithmes génétiques et aux voisinages du problème du voyageur de commerce. Avant de conclure, nous proposons une modélisation pour les processus séquentiels complexes ou la répétition de taches est alors autorisée. Dans ce cas, on utilise un polynôme a deux variables et nous présentons quelques applications de cette modélisation.

The modelling of sequential processes is used in many important fields such as operational research, industrial engineering and computer science. This thesis proposes a new modelling of sequential processes: to any sequence, complex or not, we associate a polynomial with one or more variables with coefficients and values in a finite field. This mathematical model is within the framework of the classical polynomial interpolation problem only in the particular case of the set z/pz. The consequence of this approach is the possibility to use both the properties of the set z/pz (small fermat theorem, ) and the properties of calculations on polynomials. After a reminder on the set z/pz, we redefine all the procedures allowing to perform operations on these polynomials in this set: addition, multiplication, Euclidean division, composition and especially evaluation. In the case of simple sequential processes (without repetition of tasks), we have made explicit the properties of our model before defining a base of polynomials that allows us to dynamically construct the polynomial. We can then perturb our initial process and set up procedures to manage these perturbations at the level of the polynomial without having to recalculate it entirely. We now have the same tools as for a classical data structure, so we can use it to model classical sequencing problems. We are interested in genetic algorithms and in the neighbourhoods of the travelling salesman problem. Before concluding, we propose a model for complex sequential processes where the repetition of tasks is then allowed. In this case, we use a polynomial with two variables and we present some applications of this model.