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Thèse soutenue

Méthodes probabilistes pour l'homogénéisation des opérateurs sous forme divergence : cas linéaires et semi-linéaires

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Auteur / Autrice : Antoine Lejay
Direction : Etienne Pardoux
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 2000
Etablissement(s) : Aix-Marseille 1

Résumé

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La propriete d'homogeneisation est demontree ici par des methodes probabilistes pour des equations lineaires paraboliques ou elliptique avec un operateur aux derivees partielles du second-ordre ecrit sous forme divergence, et sans autre condition sur son coefficient que d'etre uniformement elliptique et borne. Cette approche permet aussi de traiter des termes differentiels d'ordre un ou zero, fortement oscillants ou non. Les coefficients de l'operateur sont des champs aleatoires stationnaires et ergodiques, ou sont periodiques. Cela revient a prouver un theoreme central limite pour le processus de markov dont le generateur infinitesimal est l'operateur differentiel du second-ordre. Ici, il convient d'utiliser la theorie du calcul stochastique pour les processus associes a des formes de dirichlet, et non plus le calcul stochastique d'ito. La propriete d'homogeneisation est ensuite prouvee pour des systemes d'equations paraboliques semi-lineaires en utilisant les equations differentielles stochastiques retrogrades (edsr), toujours lorsque l'operateur differentiel du second-ordre est un operateur sous forme divergence. Il a fallu auparavant demontrer que les edsr permettent bien de trouver la solution faible de tels systemes, ce qui est resolu ici par approximations. Enfin, quelques resultats particuliers a la dimension un sont donnes en utilisant la caracterisation des processus de markov pour cette dimension par sa fonction d'echelle et sa mesure de vitesse.