Première valeur propre du p-Laplacien et applications p-harmoniques

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• Auteur / Autrice : Ana-Maria Matei
• Direction : Ahmad El Soufi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Tours

Mots clés

Mots clés contrôlés

Morse, Théorie de

Inégalités isopérimétriques

Fonctions harmoniques

Laplacien

Résumé

Le travail présente dans cette thèse porte sur les quatres thèmes suivants : 1. Première valeur propre du p-Laplacien : nous avons généralisé à la première valeur propre du p-Laplacien sur une variété riemannienne une partie des résultats classiques de comparaison et d'estimation connus pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace Beltrami. Nous obtenons en particulier un résultat de comparaison du type Cheng, une généralisation de l'inégalité de Faber-Krahn, une généralisation du théorème de Lichnerowicz-Obata et des estimations de type Cheeger. 2. Applications p-harmoniques : nous obtenons une formule de type Bochner-Weitzenbock et une formule de type Reilly qui font intervenir le p-Laplacien. Nous utilisons ces formules pour généraliser aux applications p-harmoniques certains résultats classiques concernant les applications harmoniques. En particulier nous prouvons qu'en dessous d'un certain niveau d'énergie qui dépend des courbures de l'espace source et but les seules applications p-harmoniques sont les constantes. 3. La première valeur propre du p-Laplacien comme fonctionnelle sur l'espace des métriques : nous montrons que sur toute variété riemannienne compacte de dimension superieure ou egale a trois, la premiere valeur propre du p-Laplacien ou p est supérieur à deux, n'est pas borne sur l'espace des métriques de volume un. Par ailleurs nous prouvons que pour tout p inférieur ou égal à la dimension de la variété, la restriction de cette fonctionnelle a toute classe conforme de métriques de volume un est bornée par une constante qui dépend du volume conforme de cette classe. 4. Indice de morse des immersions minimales lagrangiennes : nous obtenons des estimations pour l'indice de morse d'une immersion minimale lagrangienne en termes de la courbure de l'espace but et du premier nombre de Betti de la variété source.