Étude de quelques problèmes variationnels intervenant en géométrie riemannienne et en économie mathématique

On some variational problems appearing in Riemannian geometry and mathematical economics

• Auteur / Autrice : Philippe Choné
• Direction : Jean-Charles Rochet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées aux sciences sociales
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Toulouse 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments finis, Méthode des

Jacobiens

Applications harmoniques

Résumé

Dans la première partie de cette thèse, nous prouvons une version faible de la conjecture suivante, formulée en 1983 par Hildebrandt : en dimension 2, les applications qui sont points critiques d'une fonctionnelle invariante par difféomorphisme conforme sont régulières. Nous montrons la régularité de telles applications, pourvu qu'elles soient a priori bornées. Ce résultat étend le théorème de F. Helein sur la régularité des applications harmoniques à valeurs dans une variété riemannienne compacte sans bord. Les problèmes variationnels étudiés dans la seconde partie sont motivés par des questions économiques. Ils consistent en la maximisation de certaines fonctionnelles sur le cône des fonctions convexes. Nous donnons une condition suffisante pour que la contrainte de convexité soit active. Cette condition, qui fait notamment intervenir la géométrie du domaine, est vérifiée dans des situations très courantes en économie. Typiquement en dimension 2, il existe une région où le rang de la hessienne de la solution est 1. Nous écrivons les équations d'Euler du problème en faisant intervenir des opérateurs dits de "balayage". Nous expliquons comment utiliser les conditions de balayage pour construire la solution du problème. Cette construction nécessite toutefois une certaine connaissance préalable de la forme de la solution. Ceci nous conduit à étudier le problème de l'approximation numérique de la solution : toute la difficulté consiste à déterminer les directions dans lesquelles la contrainte de convexité est saturée. Nous explorons diverses méthodes d'éléments finis et montrons que les plus simples d'entre elles se heurtent à une obstruction théorique sérieuse.

In the first part of this thesis, we consider a critical point u of a conformally invariant functional on a two-dimensional domain. We show that if u is a priori assumed to be bounded, then u is smooth up to the boundary of the domain. As an application, we establish a regularity result for weak solutions to the equation of surfaces of prescribed mean curvature in a three dimensional compact Riemannian manifold. The variational problems studied in the second part are motivated by economic issues, namely non-linear pricing by a monopolist or a duopolist. The problem consists in maximizing a functional over the cone of convex functions. We give a sufficient condition for the convexity constraint to be active. This condition does hold in many common situations in economics. Typically, in a two-dimensional problem, there exists an area where the rank of the hessian of the solution is 1. We write the Euler equation of the problem and derive the + sweeping conditions. We explain how to use these conditions to compute the solution. This method, however, requires some prior knowledge of the solution. We therefore study the numerical approximation of the problem. We show how to apply some simple finite-elements methods to the problem. There is, however, a strong theoretical obstruction to the convergence of these methods (in dimension greater than 2). Finally we consider duopoly models that involve non-concave and non-coercive functionals. We study best reply maps and Nash equilibria in these models.