Thèse soutenue

Martingales normales et propriété de représentation chaotique

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Auteur / Autrice : Hamid Hammouch
Direction : Erik Lenglart
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences et techniques communes
Date : Soutenance en 1999
Etablissement(s) : Rouen

Mots clés

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Résumé

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Cette thèse, consacrée aux martingales normales possédant la propriété de représentation chaotique (PRC), est en quatre chapitres. Le premier prolonge, à une dimension quelconque, l'étude entreprise, en dimension deux, par P. A. Meyer sur les intégrales multiples sur des domaines dégénérés. Le second traite la (PRC) et donne quelques conditions nécessaires et suffisantes pour qu'elle soit vérifiée, on montre l'équivalence entre la (PRC) conditionnelle à un temps d'arrêt et la (PRC) et on exhibe des martingales normales pour lesquelles l'étude de la (PRC) peut être ramenée à la (PRC) conditionnelle. Dans le troisième on traite, via les équations de structure, la (PRC), le comportement asymptotique des trajectoires, les sauts, les moments et le calcul de composantes chaotiques. Le quatrième soulève la question de l'existence de martingales normales associées à des polynômes, l'étude de leur variation quadratique sélectionne dans un premier temps, les martingales d'Azéma et aboutit ensuite au brownien et aux processus de poisson compenses. Un second point de vue, fondé sur l'emploi du calcul umbral donne une caractérisation du brownien par les polynômes de Wick et une caractérisation, par les polynômes croisés, du brownien et des processus de poisson compensés, la dernière partie de ce chapitre donne de nombreuses propriétés liant les martingales d'Azema a des polynômes.