Torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres

• Auteur / Autrice : Pierre Parent
• Direction : Bas Edixhoven
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et application
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Rennes 1

Résumé

Soit e une courbe elliptique sur un corps de nombres k. Selon le theoreme de mordel-weil, la partie de torsion e(k) t o r s du z-module e(k) est de la forme z/nz z/mz, pour n, m > 0, n divisant m. Dans une premiere partie de cette these, on donne une borne uniforme explicite pour le cardinal de telles parties de torsion. Plus precisement, la conjecture de borne uniforme pour les courbes elliptiques, affirmant qu'il existe pour tout entier d un entier b(d) tel que, pour tout corps de nombres k de degre d sur q et pour toute courbe elliptique e sur k, la partie de torsion e(k) t o r s est de cardinal majore par b(d), a ete demontree par mazur en 1976 en degre 1, et dans le cas general en 1994 par merel. Mais ce theoreme etait ineffectif ; en utilisant la methode de mazur et la theorie des symboles modulaires, nous donnons une forme explicite aux entiers b(d). Dans une seconde partie, nous nous restreignons a la torsion d'ordre premier des courbes elliptiques sur les corps cubiques. En generalisant un peu les methodes precedentes aux courbes modulaires x 1 (au lieu de x 0), et en utilisant la reduction en 2 de tels objets (ce qui pose des problemes techniques nouveaux), nous determinons, a un element pres, la liste de tels nombres premiers, repondant ainsi a une question de kamienny et mazur.