Minoration des hauteurs des sous-variétés de variétés abéliennes : étude du degré des morphismes de Belyi

• Auteur / Autrice : Razvan Dinu Litcanu
• Direction : Lucien Szpiro
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Cette these est constituee de deux parties independantes : 1. Minoration des hauteurs des sous-varietes de varietes abeliennes ; 2. Etude du degre des morphismes de belyi. La premiere partie est etroitement liee aux travaux recents qui ont permis de demontrer la conjecture de bogomolov. Nous donnons une minoration effective de la hauteur d'une sous-variete x d'une variete abelienne qui n'est pas la translatee d'une sous-variete abelienne, par une fonction rationnelle en deg x. Par rapport aux travaux de david et philippon, qui ont montre le meme type de resultats pour la hauteur normalisee de philippon avec des methodes proches de l'approximation diophantienne classique, ici les definitions et les calculs sont de nature arakelovienne, dans l'esprit des preuves qualitatives de szpiro, ullmo et zhang. On retrouvera quand meme les idees de david et philippon. Le point de depart de la deuxieme partie est un theoreme de belyi : une courbe (definie sur un corps de caracteristique 0) peut etre definie sur un corps de nombres si et seulement si la courbe revet la droite projective avec au plus trois points de branchement. Nous definissons le degre de belyi d'un point algebrique sur une courbe. Nous montrons que l'ensemble des points d'une courbe avec le degre de belyi borne est fini et nous indiquons une borne pour le cardinal de cet ensemble. Nous donnons une majoration effective du degre de belyi en termes de la hauteur et du degre algebrique du point en question. Ces resultats concernent le cas des points situes sur la droite projective, mais des enonces du meme type peuvent etre obtenus dans le cas general, par les memes methodes.