Sur la theorie ergodique des groupes discrets en geometrie hyperbolique

On the ergodic theory of discrete groups in hyperbolic geometry

• Auteur / Autrice : Thomas Roblin
• Direction : Alano Ancona
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Dans cette these, nous considerons un groupe discret d'isometries d'un espace a courbure majoree par une constante strictement negative. Nous avons etabli une version etendue du theoreme de hopf-tsuji-sullivan, puis resolu la conjecture de l'ergodicite rationnelle du flot geodesique en prouvant des resultats d'equidistribution relatifs a la serie de poincare du groupe. Nous avons ensuite examine le cas ou le groupe admet une mesure de bowen-margulis-sullivan finie. Nous prouvons le melange faible du flot geodesique dans de nombreuses situations (notamment en courbure pincee) et montrons comment il entraine le melange fort du flot, dont il s'ensuit un resultat d'equirepartition asymptotique des orbites du groupe, puis un enonce d'equidistribution asymptotique des geodesiques fermees primitives de l'espace quotient ; le denombrement asymptotique de ces geodesiques fermees est obtenu pour un groupe geometriquement fini. Une contrepartie de ces resultats est donnee pour les autres groupes, avec des proprietes de melange generalise. De nombreux resultats partiels ont ete ainsi englobes a l'aide de methodes elementaires, prolongeant ainsi les travaux de sullivan.