Relations yang-baxter dans les groupes de lie

• Auteur / Autrice : RAPHAEL BONIS
• Direction : Daniel Bennequin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Les groupes de chevalley simplement connexes admettent une definition par generateurs et relations. Cette presentation, due a steinberg utilise l'ensemble des sous-groupes a un parametre x (t) attaches aux racines du systeme de racines r ; or ceux attaches aux seules racines simples et leurs opposees suffisent a engendrer tout le groupe ; a l'instar des relations de serre dans les algebres de lie, il existe dans les groupes de chevalley des relations de tressage simples entre un couple de sous-groupes a un parametre ; dans le cas d'un couple de racines (, ) de type a 2 cette relation prend la forme de l'equation yang-baxter des physiciens : x (r)x (s)x (t) = x (t)x (s)x (r). On demontre alors que le groupe engendre par les x (t), simple, t , k ou k est un corps commutatif, et soumis a ces relations est isomorphe au sous-groupe unipotent maximal du groupe de chevalley, lorsque le corps est assez gros et que r n'est pas de type g 2. La demonstration, qui se reduit a etablir l'assertion au rang 3 necessite l'emploi de mathematica. Sur le corps des nombres reels, des systemes de generateurs ainsi que les relations qui les lient sont egalement donnes pour des groupes correspondant a des formes non deployees de l'algebre de lie ; en particulier des presentations des groupes compacts so n(r) et u n sont etablies.