Contributions a l'approche cinetique des systemes de lois de conservation hyperboliques

• Auteur / Autrice : Alexis Vasseur
• Direction : Yann Brenier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Le sujet de cette these se situe a la frontiere entre la theorie des lois de conservation et la theorie cinetique des gaz. On s'interesse au systeme de la dynamique des gaz isentropiques avec = 3 qui admet une bonne formulation cinetique. Une methode de localisation est developpee dans ce cadre pour montrer differents resultats. Dans une premiere partie, on presente un resultat de regularite en temps des solutions pour des donnees initiales quelconques. Plus precisement, on montre que toute solution uniformement bornee est continue en temps a valeurs dans l 1 l o c(r) en espace, ce qui est naturel au moins pour recuperer la donnee initiale dans un sens fort. Rappelons que ce resultat n'etait pas connu auparavant. En effet, les solutions de ce systeme pour des conditions initiales quelconques s'obtiennent par compacite par compensation. Or, ceci fournit des solutions uniquement dans l (r + r). Dans la deuxieme partie nous prouvons la convergence d'un schema cinetique semi-discret en temps. La difficulte de ce resultat reside dans le fait qu'il apparait des oscillations d'ordre t, le pas de discretisation. Cependant, grace a la localisation, on montre que l'amplitude de ces oscillations tend vers zero, ce qui prouve la convergence du schema. Enfin, dans une troisieme partie nous nous interessons a l'existence et aux proprietes des profils de chocs associes a ce schema semi-discret. La methode de localisation utilisee pour obtenir ces resultats rappelle les methodes dites de blow-up utilisees pour les equations elliptiques et paraboliques (etudes d'interfaces, d'explosions en temps fini). Ces trois parties sont suivies de quatre appendices. Nous montrons notamment la convergence du schema cinetique dans le cas scalaire sans utiliser le methode de localisation. La preuve repose sur une etude precise de la variation d'entropie.