Estimation des paramètres d'une diffusion ergodique observée à temps discret

Parametric estimation for an ergodic diffusion discretely observed

• Auteur / Autrice : Sandie Souchet
• Direction : Xavier Guyon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées aux sciences sociales
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Paris 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Estimation de paramètres

Approximation stochastique

Théorie ergodique

Processus de diffusion

Résumé

Dans la première partie, nous nous intéressons au problème d'estimation du paramètre de dérivé d'une diffusion ergodique observée à temps discret sur [0,t], lorsque t tend vers l'infini. Dans le chapitre 1, pour un pas d'observation @ petit et fixe, nous développons des schémas d'approximation anticipatifs, bases sur les formules du trapèze et de Simpson. Les estimateurs des moments généralisés associés à ces schémas sont convergents avec un biais asymptotique de l'ordre de @, pour le schéma du trapèze et en @4 pour le schéma de Simpson. Ils sont de plus asymptotiquement normaux et presque efficaces en variance avec une vitesse standard. Dans le chapitre 2, le schéma d'approximation propose est non anticipatif et repose sur les itères jusqu'à l'ordre p du générateur infinitésimal de la diffusion. L'estimateur des moindres carrés associé à ce schémas est également asymptotiquement normal et presque efficace et son biais asymptotique est de l'ordre de @p. Dans le chapitre 3, la dérive est continue mais à dérivées discontinues en un seuil ro que l'on désire estimer. Si t=n@n tend vers l'infini et n@n3 tend vers 0, nous montrons que l'estimateur des moindres carrés basé sur le schémas d'Euler est optimal. Dans le chapitre 4, nous considérons un car(p),x, qui est aussi une diffusion pdimensionnelle, y=(x, x('),. . . , x(p-'). Dans le cas où seule la première composante, x, est observée et cela a n instants équidistants de (d), nous proposons d'estimer les paramètres de ce processus en utilisant une estimation des équations de Yule-Walker. L'estimateur obtenu est convergent avec un biais explicite de l'ordre de @. Dans la deuxième partie de ce document, nous proposons une méthode d'estimation de l'écart quadratique moyen d'estimateurs empiriques construits à partir d'un échantillonnage systématique. Cette méthode complète les méthodes transitives utilisées notamment dans le domaine de la stéréologie.