Chemins, cycles et arbres dans les tournois

• Auteur / Autrice : Frédéric Havet
• Direction : John Adrian Bondy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : John Adrian Bondy

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arbres (théorie des graphes)

Chemins et cycles (théorie des graphes)

Tournois (théorie des graphes)

Résumé

Un digraphe est k-inevitable s'il est contenu dans tous les tournois d'ordre k. Apres un chapitre introductif, nous traitons de l'inevitabilite des chemins, des cycles et des arbres. Enfin, dans le dernier chapitre considerons le cote algorithmique du probleme. Rosenfeld conjectura qu'il existe un entier n > 7 tel que tout chemin d'ordre n n est n-inevitable. Ceci a ete verifie par differents auteurs pour des chemins particuliers et thomason l'a prouve pour n 2 1 2 8 et a conjecture que c'est vrai pour n 8. Avec thomasse, nous reglons definitivement la question en prouvant le theoreme suivant : tous les chemins d'ordre n sont n-inevitables a part trois exceptions d'ordre 3, 5 et 7. Rosenfeld conjectura qu'il existe un entier n tel que tout cycle non direct d'ordre n n est n-inevitable. Ceci a ete verifie par differents auteurs pour des cycles particuliers et thomason l'a prouve pour n 2 1 2 8 et a conjecture que c'est vrai pour n 9. Nous etablissons plusieurs resultats partiels : soit t un tournoi reductible d'ordre n 9 et c un cycle oriente non direct d'ordre n. Alors t contient c. Soit t un tournoi (= k)-fortement connexe (k 1) d'ordre n 6 et c un cycle d'ordre n qui contient un bloc de longueur au moins k + 2. Alors t contient c. Soit t est un tournoi (= 1)-fortement connexe d'ordre n 9 et c un cycle d'ordre n. Alors t contient c. De plus, pour chacun de ces resultats, nous caracterisons entierement toutes les exceptions de petits ordres. Soit f(n) le plus petit entier tel que tout arbre est f(n)-inevitable. Et soit g(k) le plus petit entier tel que tout arbre ayant k feuilles est (n + g(k)) -inevitable. Sumner a conjecture que f(n) = 2n 2. Haggkvist et thomason ont prouve f(n) 12n et f(n) (4 + o(1)n. De plus, ils ont prouve que g(k) 2 5 1 2 k $$ 3. Avec thomasse, nous conjecturons que g(k) k 1. Cette conjecture implique celle de sumner. Nous montrons que g(3) 5 et en deduisons que f(n) 7,6n. Dans le dernier chapitre, nous presentons des algorithmes en o(n 2) pour trouver un chemin hamiltonien dans un tournoi, un cycle hamiltonien non-direct dans un tournoi reductible ou exactement l-fortement connexe et un cycle ayant un bloc de taille au moins k + 2 dans un tournoi exactement k-fortement connexe.