Quelques propriétés de diffusions infini-dimensionnelles liées à la mécanique statistique
par Désiré Seu
Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées
Sous la direction de Sylvie Rœlly.
Soutenue en 1999
à Lille 1 .
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Résumé
Cette thèse est consacrée à l'étude de propriétés telles que existence, unicité ou ergodicité des solutions de trois types d'équations différentielles stochastiques liées à la mécanique statistique ; il s'agit de l'analyse de modélisations par une dynamique aléatoire de systèmes finis ou infinis de particules en interaction sur le réseau Zd, d> 1. Dans un premier temps, nous traitons l'ergodicité de diffusions browniennes fini - dimensionnelles dont la dérive est le gradient d'une fonction h appelée hamiltonien. Grâce à leur propriété de récurrence au sens de Harris, ces processus sont ergodiques, i. E la loi du système dynamique aléatoire converge en temps infini vers un état d'équilibre qui ne dépend pas des conditions initiales. De plus, la limite est identifiée comme l'unique mesure de Gibbs associée au hamiltonien h. Dans le chapitre suivant, nous généralisons cette problématique à des diffusions browniennes de type gradient à valeurs dans R zd , donc infini-dimensionnelles. Celles-ci n'étant plus récurrentes, nous exhibons des conditions suffisantes que doit satisfaire le hamiltonien de la dérive pour qu'il y ait ergodicité du système, que l'interaction entre les coordonnées soit à portée finie ou infinie. Notre méthode consiste à démontrer que le semi-groupe de la diffusion est un opérateur exponentiellement contractant sur l'ensemble des fonctions lipschitziennes. Quand elle existe, la limite ergodique est l'unique mesure de Gibbs, à support régulier, associée au hamiltonien. Nous illustrons nos résultats théoriques par des exemples issus de modèles importants en mécanique statistique. Dans le dernier chapitre, nous considérons la classe de diffusions à valeurs dans R zd dites de Ginzburg-Landau. Elles modélisent, en chaque site du réseau Zd, l'évolution d'un flux de courants aléatoires créés le long des arêtes orientées ayant pour origine ce site. C'est un type de modèle conservatif pour lequel nous prouvons existence et unicité des solutions dans certaines conditions de régularité des coefficients. Enfin, nous exhibons une famille (paramétrée par les fonctions harmoniques sur Zd) de mesures de Gibbs invariantes pour un exemple classique de dynamique de Ginzburg-Landau.
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Titre traduit
Some properties of infinite-dimensional diffusions related to statistical mechanics
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