Thèse soutenue

Homologie de novikov et applications en topologie symplectique
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Auteur / Autrice : Mihai Damian
Direction : François Laudenbach
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences et techniques communes
Date : Soutenance en 1999
Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Résumé

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Le but de ce travail est d'etudier les applications de la theorie d'homologie de novikov en topologie symplectique. Le texte est structure en deux parties : dans la premiere partie on etudie les relations entre l'homologie de novikov, les 1-formes fermees non-singulieres et les proprietes de finitude des sous-groupes du groupe fondamental d'une variete. Les resultats obtenus sont utilises dans la deuxieme partie pour trouver des proprietes des sous-varietes lagrangiennes d'une variete symplectique. On obtient des resultats dans le cas des varietes symplectiques convexes a l'infini de dimension superieure ou egale a 6, en particulier pour le fibre cotangent d'une variete compacte m n 3. Par exemple, si l est une sous-variete lagrangienne compacte de t* m qui verifie i(t* m, l) = 0 pour i = 1,2 et si m fibre sur le cercle, alors l a la meme propriete. Comme consequence, on obtient qu'une sous-variete lagrangienne compacte exacte l t*t m telle que 1(l) = z m a necessairement le type d'homotopie du tore t m. L'idee principale pour aborder ces enonces est d'utiliser une version non-exacte d'un theoreme d'engouffrement symplectique de francois laudenbach pour se ramener au cas ou l est la section nulle d'un fibre cotangent. On obtient ainsi des enonces equivalents qui sont lies a la conjecture d'arnold dans t* l. En appliquant la theorie des formes generatrices, on se ramene a des problemes concernant les 1-formes fermees non-singulieres. Une caracterisation algebrique d'une classe de cohomologie de degre 1 qui contient une forme non-singuliere, etablie par francois latour, nous permet de faire appel aux resultats sur l'homologie de novikov prouves dans la premiere partie.