Méthodes numériques pour le contrôle et la stabilisation rapide des grandes structures flexibles

• Auteur / Autrice : Jean-Séverin Briffaut
• Direction : Roland Glowinski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques, Informatique
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claude Bardos, Frédéric Bourquin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vilmos Komornik, Günter Leugering

Mots clés

Mots clés libres

Physique

Domaines classiques de la physique (y compris les applications)

Contrôle vibration

Système actif

Stabilisation

Structure en treillis

Poutre

Contrôlabilité

Processus rapide

Modélisation

Modèle Bernouilli Euler

Synthèse commande

Résumé

L’objectif de cette thèse est d’étudier numériquement la contrôlabilité exacte et la stabilisation rapide de multistructures flexibles composées de poutres d’Euler-Navier-Bernoulli. On utilise la méthode HUM de J. L. Lions [83] (resp. Une variante de la méthode HUM proposée par V. Komornik [59] qui s’exprime directement au niveau continu et qui fournit un « algorithme constructif » de lois de contrôle frontière en boucle ouverte (resp. Fermée) permettant de contrôle exactement (resp. De stabiliser de façon arbitrairement rapide) ces multistructures. On applique une « méthode de superposition modale » pour calculer le contrôle approché et on propose différentes méthodes pour calculer la réponse approchée de la poutre. L’étape fondamentale de notre méthode de discrétisation consiste à calculer avec une grande précision le « grammien » de contrôlabilité (resp. De stabilisabilité), terme clef de la méthode, en définissant une « forme très faible » des termes de bords discrets qu’il contiennent. En boucle fermée, une formulation dite semi-très faible a été introduite ; elle perme de définir une méthode d’approximation stable pour le contrôle en déplacement. Le taux de décroissance exponentielle, indépendant de la discrétisation retenue, s’avère toujours « deux fois plus grand » que celui prédit par Komornik [59]. Des résultats théoriques en cours d’établissement [105] semble d’ailleurs montrer que, sous certaines hypothèses, on peut effectivement démontrer cette propriété. Etant donné que nous voulons construire des lois réalistes du point de vue mécanique, on applique la méthode HUM pour construire des « contrôles réguliers » et on propose une régularisation de la loi de Komornik. Après une étude numérique approfondie de ces deux lois, on les appliquera aux treillis de poutres d’Euler-Navier-Bernoulli en utilisant les mêmes algorithmes constructifs ainsi que les mêmes techniques d’approximations, tout en élargissant la classe des actionneurs applicables. Une condition « suffisante » sur l’horizon de contrôlabilité et la disposition des actionneurs pour que de telles multistructures soient contrôlables exactement, et qu’ «à fortiori » elles soient stabilisables, est que le grammien de contrôlabiité (resp. De stabilisabilité) qui permet de mesurer l’efficacité du contrôle exercé. C’est à partir de cette observation que F. Bourquin [14] a proposé un « test numérique » discriminant qui donne une information sur la contrôlabilité exacte (ou la non-contrôlabilité exacte) des multistructures sur lesquelles s’exercent les contrôles HUM. On vérifiera la validité de ce test en comparant les conclusions qu’il donne, quand on l’applique à différents treillis de poutres d’Euler6Navier-Bernoulli ? aux résultats théoriques de J. Lagnese, G. Leugering et E. J. P. G. Schmidt [67].

This thesis deals with the numerical study of exact controllability and fast stabilizability for Euler-Navier-Bernoulli frames. We used HUM [83] (resp. V. Komornik’s variant [59]) written directly at the continuous level which gives a « constructive algorithm » for boundary control laws achieving exact controllability (resp. Arbitrarily fast stabilization) for Euler-Navier-Bernoulli beams. We built both regular control laws with HUM’s method and regularized Komornik’s law. We compute the approched law bu « modal superposition » and we propose two different methods in order to get the controlled beam response. The key step of our discretization method is the accurate calculation of the controllability grammian using a « very weak form » for boundary discretized terms. After a detailed numerical study, we apply this laws to beam trusses using our previous approach, in increasing the class of applying actuators. We proposed with F. Bourquin [14,15] a discriminant « numerical test » which gives information about the exact controllability of structures submitted to HUM’S controls using exact computation of the grammian coercivity constant involved in the observability inequality. Finally, we check the numerical relevance of our test regarding theoretical results of J. E. Lagnese, G. Leugering and E. J. P. G. Schmidt [67].