Analyse algébrique des systèmes de contrôle linéaires multidimensionels

par Alban Quadrat

Thèse de doctorat en Sciences et techniques

Sous la direction de Jean-François Pommaret.

Soutenue en 1999

à Marne-la-vallée, ENPC .

Le président du jury était J.C. Willems.

Le jury était composé de Manuel Bronstein, S. Diop, Claude Sabbah.

Les rapporteurs étaient Michel Fliess, Georges Le Vey.

mots clés

• Théorie commande
• Théorie système
• Sytème N dimensions
• Méthode algébrique
• Equation dérivée partielle
• Controlabilité
• Commande optimale
• Stabilité robuste

Résumé

Cette thèse présente les principales méthodes intrinsèques de l’analyse algébrique moderne, en particulier la théorie des modules différentiels ou D-modules. En même temps, elle présente le moyen de les utiliser dans l’étude des systèmes de contrôle linéaires multidimensionnels à coefficients constants ou variables, lorsque les relations entrées/sorties sont définies par des systèmes d’équations aux dérivées partielles dans le cas continue ou par des équations aux différences dans le cas discret. L’outil essentiel est la dualité existant entre la théorie des modules différentiels et la théorie formelle des systèmes d’équations aux dérivées partielles. Combiné à la technique classique de la location et à la construction des foncteurs torsion/extension en algèbre homologique, il donne un cadre naturel pour étudier la classification des modules (libre, projectif, réflexif, sans-torsion, …) et son interprétation en théorie du contrôle. En conséquence la thèse reformule et généralise divers concepts qui peuvent être rencontrés dans la littérature sur les systèmes de contrôle multidimensionnels (contrôlabilité, observabilité, pôles et zéros, …). En particulier, ce travail unifie les différentes définitions de primalité en les reliant à la précédente classification des modules et aux tests correspondants présentés dans les années 1970 par Palamodov et Kashiwara. Parmi les résultats présentés, la thèse décrit une nouvelle approche des identités de Bezout généralisées pour les systèmes contrôlables à coefficients variables et elle montre que de telles identités sont en fait équivalentes à la scission d’une suite différentielle exacte formée par l’opérateur définissant le système de contrôle et sa paramétrisation. Utilisant la paramétrisation des systèmes contrôlables, nous montrons comment transformer un problème de commande optimale, avec fonction de coût quadratique et contrainte différentielle linéaire, en un problème variationnel sans contrainte. Cette approche formelle utilise la fonction de coût pour lier la suite différentielle formée par l’opérateur contrôlable et sa paramétrisation avec la suite différentielle formée par les opérateurs adjoints respectifs. Nous montrons finalement comment utiliser la théorie des modules et l’algèbre homologique pour reformuler de manière plus intrinsèque les problèmes de stabilisation interne, la primalité faible, les identités de Bezout généralisées et la paramétrisation de tous les contrôleurs stabilisants pour des systèmes définis sur les algèbres de Banach (H001 algèbres de Callier-Desoer …).

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Résumé

This thesis presents the main intrinsic methods of modern algebraic analysis, in particular the theory of differential modules of D-modules, with the way to use them within the framework of linear multidimensional control systems with constant or variable coefficients, when the input/output relations are defined by systems of partial differential equations in the continuous case or by difference equations in the discrete case. The main tool is the duality existing between the theory of differential modules and the formal theory of systems of partial differential equations of differential operators. Combined with the standard localization technique and with the construction of torsion/extension functors in homological algebra, it provides a natural setting for studying the classification of modules (free, projective, reflexive, torsion-free, …) and its control interpretation. As a byproduct, this thesis reformulates and generalizes various concepts that can be found in the literature on multidimensional control systems (controllability, observability, poles and zeros, …). In particular, this work unifies the different definitions of primeness by relating them to the previous classification of modules and to the corresponding tests presented in the early 1970’s by Palamodov and Kashiwara. Among the results presented, the thesis describes a new approach to the generalized Bezout identities for controllable systems with variable coefficients and it shows that such identities are equivalent to the splitting of an exact sequence formed by the controllable operator and its parametrization. Using the parametrization of controllable systems, the thesis finally shows how to transform a problem of optimal control with quadratic cost function and linear differential constraint into a variational problem without constraint. This formal approach uses the cost function in order to link the differential sequence formed by the controllable operator and its parametrization to the differential sequence formed by their respective adjoint operators. We finally shows how to use modules theory and homological algebra to reformulate in a more intrinsic way the internal stabilization, the weakly primeness, the generalized Bezout identites and the parametrizations of all the stabilizing controllers for systems defined over Banach algebras (H001 Callier-Desoer algebras …).