Champs de vecteurs hyperboliques en dimension 3

• Auteur / Autrice : François Béguin
• Direction : Christian Bonatti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Dijon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Markov, Processus de

Systèmes hyperboliques

Systèmes dynamiques

Théorème de Kupka-Smale

Champs vectoriels

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des dynamiques topologiques globales des champs de vecteurs structurellement stables sur les variétés de dimension 3. La base de l'étude est la description de présentations combinatoires finies pour les champs de Smale (les champs dont toute pièce basique est une orbite isolée ou est transversalement homéomorphe à un Cantor ; ces dernières pièces basiques seront dites selles). Une présentation finie est essentiellement constituée du type géométrique d'une partition de Markov ; c'est une combinatoire qui décrit l'ordre, la position et le sens des intersections des rectangles de la partition de Markov avec leurs premiers retours sur une section locale. Un type géométrique caractérise le germe de la dynamique le long d'un ensemble selle. L'obtention de présentations de la dynamique globale passe ainsi par la construction d'un modèle canonique du germe d'un champ de vecteurs le long d'un ensemble selle : ce sont, en quelque sorte, la variété à bord et le champ les plus simples qui portent le germe considéré. On montre alors que tout type géométrique abstrait est réalisable par un champ de Smale d'une variété de dimension 3. On montre également que les différents types géométriques d'un ensemble selle sont récursivement énumérables grâce à quatre opérations élémentaires. On cherche ensuite à comprendre quels types géométriques correspondent à des partitions de Markov de suspensions de difféomorphismes de surfaces compactes. On sait donner une condition nécessaire et suffisante si on demande à la partition d'être dessinée sur la surface de suspension. Par ailleurs, on donne une autre condition qui est nécessaire pour être une suspension et suffisante pour admettre une section de Birkhoff. Le dernier chapitre est consacré aux difféomorphismes de Smale des surfaces compactes. On y montre qu'il existe un algorithme décidant si deux types géométriques correspondent à un même ensemble selle d'un même difféomorphisme.