Comparaison de différentes approches des résidus et applications

Comparison of differents ways of defining residues and applications

• Auteur / Autrice : Jean-Yves Boyer
• Direction : Michel Hickel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Bordeaux 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Congruences et résidus

Résumé

Le travail présenté propose dans une première partie de relier et comparer trois approches différentes du résidu : celle définie par les représentations intégrales dans le cas des intersections complètes de dimension zéro sur ℂ, celle induite par la notion de trace sur les algèbres de Gorenstein, définie par G. Scheja et U. Storch, et étendue par la suite par E. Kunz, R. Hübl, R. Waldi, et enfin celle définie par J. Lipman via l'homologie de Hochschild. Dans une seconde partie, nous montrons comment les représentations intégrales du type Bochner-Martinelli permettent d'obtenir une preuve complète d'une généralisation de la loi de transformation. Nous montrons ensuite comment étendre ce résultat dans le cadre algébrique des résidus définis par J. Lipman. Nous donnons ensuite d'autres généralisations de la loi de transformation. Dans une troisième partie, nous obtenons une extension algébrique d'une formule analytique classique de A. Weil. La formule obtenue permet de caractériser les homomorphismes finis de A[z] dans A[z] lorsque A est un anneau noethérien, et donne une preuve purement algébrique de la formule de Weil analytique. Dans une quatrième partie, nous montrons comment notre formule de Weil permet d'obtenir une bonne borne dans le problème d'appartenance effective à un idéal.

The first part of this work clarifies the connection between three different types of residues : those defined by the integral (the local residue in multidimensional complex analysis), those defined using the trace on Gorenstein algebra which was introduced by G. Scheja and U. Storch, then generalized by E. Kunz, R. Hübl and R. Waldi, and those defined by Lipman's approach to residues via Hochschild homology. In part two we use integral representations of Bochner-Martinelli type in a complete proof of an extended transition formula for multidimensional complex residues. Then, without analytic tools, we generalize this result to Lipman's approach to residues. We also give other generalizations of transition formulas. In part three we show how a classical analytic formula of A. Weil can be extended to residues defined by Lipman's approach. This formula is used to determine whether a homomorphism from A[z] to A[z] is finite when A is a nœtherian ring, and also to give an algebraic proof of the usual analytic Weil's formula. In part four we show how our form of Weil's formula gives an effective solution for the membership problem with good bounds.