Formes trace de g-algebres galoisiennes

• Auteur / Autrice : Marina Monsurro
• Direction : Eva Bayer-Fluckiger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Chimie
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Besançon

Résumé

Ce travail est consacre a l'etude de la classe d'isomorphisme de la forme trace d'une g-algebre galoisienne. Soit k un corps, qu'on va supposer de caracteristique differente de deux, g un groupe fini et l une g-algebre galoisienne sur k. On definit la forme trace q l : l k de la facon suivante : pour tout x , l, q l (x) : = tr l / k(x 2). La forme quadratique q l est non degeneree et invariante par l'action du groupe g sur l, ce qu'on appelle une g-forme. La classe d'isomorphisme de q l en tant que g-forme est un invariant de l/k plus complet que la seule forme q l. Le but de ce travail est donc d'etudier et de classifier la forme trace en tant que g-forme. E. Bayer-fluckiger et h. W. Lenstra ont demontre que, si l'ordre de g est impair, q l est toujours g-isomorphe a la forme unite. Ceci n'est plus vrai lorsque l'ordre de g est pair. Dans ce cas on peut etablir des criteres cohomologiques pour determiner la classe de g-isomorphisme de q l dans certains cas. Les hypotheses qu'on utilise dans ce travail vont etre de deux especes : sur le goupe g, notamment sur la structure de ses 2-sous-groupes de sylow, ou sur le corps k, c'est-a-dire sur sa dimension cohomologique (virtuelle) et sur la propriete d'approximation forte. La plupart des resultats qu'on obtient sont verifies seulement dans le cas des corps dont le groupe de galois absolu a dimension cohomologique (virtuelle) au plus egale a un, on obtient une condition necessaire et suffisante pour le g-isomorphisme de formes trace et on affronte le probleme inverse (quelles g-formes se constituent comme trace d'une g-algebre galoisienne ?). Cependant pour etendre ce genre de resultats a des cas tout a fait usuels, comme par exemple les corps de nombres (dimension cohomologique virtuelle au plus 2), on est oblige de poser des hypotheses tres lourdes sur le groupe g. Il est, par contre, possible d'obtenir des resultats dans une situation assez generale en considerant des multiples de la forme trace. E. Bayer-fluckiger a formule une conjecture sur la possibilite d'etablir des criteres pour le g-isomorphisme de multiples de formes traces. Dans un travail commun avec e. Bayer-fluckiger, on verifie cette conjecture pour les doubles de formes trace sur un corps de dimension cohomologique virtuelle au plus deux qui satisfait la propriete d'approximation forte. Il est possible de generaliser d'avantage ce genre de resultats en considerant le produit d'une forme trace par une 1-forme de pfister.