Sur les extensions pro-p-libres d'un corps de nombres

• Auteur / Autrice : ARTHUR LANNUZEL
• Direction : Thong Nguyen Quand Do
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Chimie
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Besançon

Résumé

Pour un corps de nombres algebriques k et un nombre premier p (si p = 2, on suppose que 4 k), en relation avec le probleme de plongement et le probleme inverse de galois, l'objet de ce travail est l'etude du rang maximal k d'une pro-p-extension libre de k. En supposant la conjecture faible de leopoldt pour k en p, il est connu que 1 k r 2 + 1. La premiere question est de trouver une expression de r 2 + 1 k. Dans ce travail, trois expressions de cette difference sont donnees sous differentes hypotheses sur le corps k, en particulier, une expression reliant la difference precedente avec les differences locales similaires en les places divisant p et une expression issue de la theorie d'iwasawa. La seconde question est de caracteriser les corps tels que k = r 2 + 1. Ce probleme est relie a des conjectures generalisees dues a greenberg de la theorie d'iwasawa. Differentes formulations equivalentes de ces conjectures sont donnees et, grace a ces equivalences, il est montre, essentiellement, dans le cas ou p k, en supposant la conjecture de greenberg generalisee et la conjecture de leopoldt en p, que k = r 2(k) + 1 si et seulement si k est un corps dit p-rationnel.