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Thèse soutenue

Spectre et contrôlabilité de réseaux de poutres

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Auteur / Autrice : Bertrand Dekoninck
Direction : Serge Nicaise
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 1998
Etablissement(s) : Valenciennes

Résumé

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De nombreux modèles de réseaux constitués d'un nombre fini d'éléments flexibles, comme des cordes, des poutres, des plaques ou des coques, ont été récemment étudiés. Dans ce travail, nous considérons des réseaux de poutres d'Euler-Bernoulli, modélisées par un operateur d'ordre 4 avec différentes conditions de bord et de transmission. Nous étudions dans un premier temps le problème spectral en utilisant une représentation matricielle du problème initial. Celui-ci s'en trouve alors réduit à l'étude des zéros d'une équation transcendante ne dépendant que de la structure du réseau. Cette équation peut elle-même être réduite en une équation algébrique dans certains cas. Dans la deuxième partie de ce travail, nous étudions la contrôlabilité exacte par contrôle externe de l'un de ces modèles, avec des conditions de Dirichlet sur les sommets extérieurs. Nous montrons comment contrôler cette structure a l'aide de la méthode HUM (Hilbert Uniqueness Method). Cependant la méthode classique des multiplicateurs n'offre ici de résultat vraiment probant que pour des réseaux en étoile (dont toutes les branches ont un seul sommet en commun). Nous avons donc décidé de donner des conditions suffisantes assurant la contrôlabilité exacte pour tout temps t>0 à l'aide des propriétés asymptotiques des valeurs propres et des propriétés des vecteurs propres sur les sommets extérieurs. Ce travail se termine par l'étude de différents exemples significatifs.