Thèse soutenue

Volume minimal et rigidite differentielle

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Auteur / Autrice : LAURENT BESSIERES
Direction : Michel Boileau
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences et physiques communes
Date : Soutenance en 1998
Etablissement(s) : Toulouse 3

Résumé

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Nous demontrons dans la premiere partie de la these le cas d'egalite du resultat de rigidite suivant, concernant le volume minimal d'une variete lisse fermee de dimension superieure ou egale a trois. Theoreme : soient n et m deux varietes lisses, fermees, orientees de meme dimension superieure ou egale a trois. On suppose que m est munie d'une metrique hyperbolique. Si f est une application continue de n dans m, de degre strictement positif, le volume minimal de n est superieur ou egal a degre(f) fois le volume hyperbolique de m, avec egalite si et seulement si n est une variete hyperbolique et f est homotope a un revetement. La preuve repose sur l'utilisation de theoremes de convergence riemannienne a la gromov, et sur l'adaptation de la construction de besson, courtois, gallot. L'une des applications interessantes est que le volume minimal n'est pas un invariant du type topologique de la variete, mais de la structure differentielle. Il n'est pas non plus additif par somme connexe. La deuxieme partie est consacree au cas des varietes a bord. On etablit en dimension superieure ou egale a trois un contre-exemple au theoreme de rigidite. Les memes methodes permettent de generaliser en dimension superieure ou egale a quatre un resultat de thurston sur le volume des sous-varietes hyperboliques ouvertes. On termine par une demonstration detaillee d'un resultat de m. Gromov sur le volume minimal et la decomposition geometrique des varietes de dimension trois.