Vitesses de convergence pour les martingales dans le theoreme central limite fonctionnel : - comparaisons de methodes - cadres uni et multidimensionnel

• Auteur / Autrice : BERNARD COURBOT
• Direction : JEAN MEMIN
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et application
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Rennes 1

Résumé

Les vitesses de convergence dans le theoreme central limite fonctionnel sont bien connues dans le cas de sommes de variables independantes reelles. Nous nous proposons ici d'examiner le cas plus general de martingales de carre integrable en temps continu convergeant en loi vers un mouvement brownien, situation pour laquelle les resultats sont encore tres incomplets. Le cadre general sera celui d'une martingale m de carre integrable et d'un mouvement brownien b sur l'espace de skorokhod d#d des fonctions continues a droite et pourvues de limites a gauche a valeurs dans r#d. Le probleme consiste a estimer la distance de prokhorov de m et b en fonction des distances de ky fan de processus associes a ces martingales. Des estimations precises s'obtiennent a partir d'inegalites exponentielles auxquelles est consacre un chapitre ; une technique unifiee y est developpee dans le cadre general des semimartingales, ameliorant des resultats connus. Dans le cadre unidimensionnel, la technique employee est celle du plongement de skorokhod. Les vitesses obtenues sont optimales dans le cadre de cette technique. Nous proposons une nouvelle distance metrisant la convergence en loi de processus vers un mouvement brownien dans d#d en ramenant le cas multidimensionnel a des estimations unidimensionnelles, les vitesses obtenues etant analogues a celles du cas reel. Par une technique de discretisation et d'espace commun de probabilite de divers auteurs, des estimations de la distance de prokhorov de m et b sont etablies en dimension quelconque. Elles ameliorent les resultats anterieurs mais sont encore loin de l'optimalite. Le cas des martingales a accroissements independants est enfin traite afin de permettre une comparaison plus precise de ces techniques et de mieux cerner leurs limites.