Une Méthode variationnelle en mécanique de la rupture

A variational approach for brittle fracture, theory and numerical implementation

• Auteur / Autrice : Blaise Bourdin
• Direction : Gilles Francfort
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 13

Résumé

L'objet de cette these est l'etude d'une methode variationelle en mecanique de la rupture, proposee par g. A. Francfort et j. -j. Marigo. Dans cette formulation, on associe a tout etat de deformation et de fissuration d'un materiau, une energie composee de deux termes. Le premier est l'energie elastique classique, calculee sur la partie saine (non fissuree) du domaine alors que la seconde est proportionnelle a la surface (ou a la longueur, en deux dimensions) de l'ensemble des fissures. On cherche alors a minimiser, parmi toutes les fonctions cinematiquement admissibles pour le probleme etudie et toutes les fissures, la somme des deux termes precedemment evoques. Ce probleme de discontinuites libres, si l'on se limite a des mouvements antiplans, est tres proche d'une methode de segmentation d'images : le probleme de mumford-shah, qui a ete etudie par l'ecole italienne (notamment par e. De giorgi et l. Ambrosio) et qui est le point de depart de cette these. Deux articles, rediges lors de cette these et consacres a la mise en uvre numerique du probleme du mumford-shah, sont presentes. Le premier decrit un algorithme numerique base sur une methode d'elements finis et un resultat de gamma convergence. Le second propose une approche numerique plus originale, basee sur une approximation discrete et utilisant de maniere fondamentale un processus d'adaptation de maillage. Enfin, un troisieme article est consacre a la mise en uvre du probleme mecanique et le dernier chapitre en detaille etude theorique. Des resultats numeriques sont presentes, aussi bien pour le probleme de segmentation d'images, que pour la mecanique de la rupture.